등산과 하산에서 같은 시각에 같은 곳을 지나는 지점 · 사잇값 정리

한 등산객이 아침 6시에 산 아래에서 출발해 오후 6시에 정상에 닿았다. 쉬기도 하고 빨리 걷기도 했다. 다음 날 아침 6시에 정상에서 출발해 같은 길로 내려와 오후 6시에 산 아래에 닿았다. 두 날 모두 같은 시각에 같은 지점에 있었던 곳이 반드시 있을까. 답은 「있다」이고, 이유는 사잇값 정리다.

끊어지지 않고 음에서 양으로 갔다면, 0을 반드시 지난다.

산 아래에서 잰 길 위의 거리를, 첫날 시각 t에 대해 f(t), 둘째 날 시각 t에 대해 g(t)라 하자. 두 함수의 차 h(t) = f(t) − g(t)를 생각한다. 아침 6시에는 첫날은 산 아래(0), 둘째 날은 정상이므로 h는 음수다. 오후 6시에는 첫날은 정상, 둘째 날은 산 아래이므로 h는 양수다.

사람은 순간 이동을 하지 않으니 f와 g는 연속함수이고, 그 차 h도 연속이다. 연속함수가 음수에서 양수로 바뀌었다면 그 사이에 0인 순간이 반드시 있다. 이것이 사잇값 정리다. h(c) = 0인 시각 c에 f(c) = g(c), 곧 두 날 같은 시각에 같은 자리에 있었다. 두 날을 한 그래프에 겹쳐 그리면 올라가는 선과 내려오는 선이 어딘가에서 반드시 만나는 것과 같다.

정리는 그런 지점이 「있다」고만 말하고 어디인지는 말하지 않는다. 그래도 쓸모가 크다. 방정식의 해가 어느 구간 안에 있다는 것을 계산 없이 보장하고, 그 구간을 반씩 줄여 가며 해를 찾는 방법의 출발점이 된다. 연속이라는 조건 하나가 「반드시」를 만든다.

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