함수의 연속과 사잇값 정리

개요

01에서 극한 $\lim_{x\to a}f(x)$ 이 존재하는지, 존재한다면 어떤 값인지를 물었다. 그런데 극한이 존재한다고 해서 그 값이 $x=a$ 에서의 함숫값과 같다는 보장은 없다. 다가가는 값과 실제 값, 이 둘이 서로 같은지를 묻는 것이 바로 연속이다.

다항함수만 보면 이 구분이 잘 느껴지지 않는다. 다항함수는 어디서나 매끄럽게 이어져 있어서 대입만 하면 극한값도 함숫값도 같은 수가 나오기 때문이다. 그래서 연속의 뜻이 살아나는 건 오히려 구간을 나눠 정의한 함수에서다. 경계에서 두 식이 자연스럽게 이어지는지, 아니면 뚝 끊기는지를 직접 확인해야 하기 때문이다.

연속인 구간에서는 그래프가 손을 떼지 않고 이어지므로, 양 끝의 함숫값 부호만 다르면 그 사이 어딘가에서 그래프가 반드시 $x$ 축을 지난다. 이 성질이 사잇값 정리이고, 방정식이 실근을 가짐을 보이는 강력한 도구가 된다. 다음 소단원에서 배울 미분계수 역시 극한으로 정의되므로, 그 극한이 함숫값과 이어지는지 확인하는 이 감각이 먼저 필요하다.

핵심 사실

• 연속의 정의: 세 조건. 함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 연속이려면 다음 세 가지가 모두 성립해야 한다: ① $f(a)$ 가 정의됨, ② $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재함, ③ 그 둘이 같음.

$$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$

• 좌극한과 우극한이 같아야 극한이 존재한다. $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 있다고 말하려면 좌극한과 우극한이 모두 있고 서로 같아야 한다.

$$\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x)$$

구간별로 정의된 함수는 경계 $x=a$ 를 사이에 두고 좌우가 다른 식이므로, 두 극한을 따로 계산해서 같은지 맞춰 봐야 한다. 예를 들어 다음 함수가 $x=1$ 에서 연속이 되도록 상수 $k$ 를 정하는 유형이 대표적이다.

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + k & (x < 1) \\ 3x & (x \ge 1) \end{cases}$$

좌극한 $1+k$ 와, 우극한이자 $f(1)$ 인 $3$ 을 같게 놓으면 $k=2$ 를 얻는다.

• 불연속은 세 조건 중 하나만 깨져도 일어난다. 함숫값이 없거나, 극한 자체가 없거나(좌극한과 우극한이 다르거나), 극한은 있는데 함숫값과 다른 경우, 어느 하나만 걸려도 그 점에서는 불연속이다.

• 연속함수의 성질: 합·차·곱·몫. $f, g$ 가 $x=a$ 에서 모두 연속이면 $f+g$, $f-g$, $fg$ 도 $x=a$ 에서 연속이다. 몫 $\dfrac{f}{g}$ 는 분모가 $0$ 이 아닐 때만 연속이다. 다항함수는 모든 실수에서 연속이므로, 다항식으로 이루어진 함수의 연속 여부는 결국 분모가 $0$ 이 되는 지점만 조심하면 된다.

• 사잇값 정리. 함수 $f(x)$ 가 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속이고 $f(a) \neq f(b)$ 이면, $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 모든 값 $k$ 에 대해 $f(c)=k$ 인 $c$ 가 $a$ 와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재한다. 특히 $f(a)f(b) < 0$ 이면 $k=0$ 인 경우이므로, 방정식 $f(x)=0$ 은 그 구간에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.