몬티홀 문제 · 문을 바꾸면 정말 유리한가

문 세 개 중 하나 뒤에 자동차가, 나머지 둘 뒤에는 염소가 있다. 당신이 1번 문을 고르자, 정답을 아는 사회자가 3번 문을 열어 염소를 보여 준다. 이제 남은 것은 1번과 2번. 바꾸겠습니까?

사회자가 아무 문이나 연 것이 아니라는 사실이 확률을 가른다. 정보가 어디서 왔는지가 곧 조건이다.

대부분은 "둘 중 하나니까 반반"이라고 답하고 그냥 둔다. 하지만 바꾸면 당첨 확률이 2/3, 바꾸지 않으면 1/3이다. 두 배 차이다. 이 문제는 1990년 미국의 한 칼럼에 실린 뒤 수학 박사 1,000명 가까이가 틀렸다고 항의 편지를 보낸 것으로 유명하다.

확률이 갈리는 이유는 사회자가 아무 문이나 열지 않았다는 데 있다. 처음 고른 1번이 정답일 확률은 1/3, 틀렸을 확률은 2/3다. 만약 1번이 틀렸다면(2/3), 남은 두 문 중 하나는 자동차이고 사회자는 반드시 나머지 염소 문을 열어야 한다. 그러면 바꾸는 쪽이 무조건 당첨이다. 반대로 1번이 정답일 때만(1/3) 바꿔서 손해를 본다. 그래서 바꿔서 당첨될 확률이 그대로 2/3가 된다. 한 판에서 두 전략 중 정확히 하나만 성공하므로, 바꾸는 쪽이 2/3라는 말은 안 바꾸는 쪽이 1/3이라는 말과 같은 문장이다.

문이 100개라고 생각하면 감각이 확실해진다. 하나를 고르고 사회자가 염소 문 98개를 열어 준다면, 처음 찍은 그 문이 정답일 확률은 여전히 1/100이고 남은 문 하나가 99/100이다. 여기서 핵심은 사회자가 정답을 알고 일부러 꽝을 열었다는 조건이다. 만약 사회자도 모르는 채 아무 문이나 열었다가 우연히 염소가 나왔다면, 그때는 바꿔도 확률이 1/2로 같아진다. 같은 장면이라도 조건이 무엇이냐에 따라 확률이 달라진다는 것, 조건부확률이 하려는 말이 정확히 이것이다.

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