04 / 8

조건부확률과 독립

정보가 주어졌을 때 확률이 어떻게 바뀌는지 다루고, 곱셈정리로 두 사건이 함께 일어날 확률을 구한다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

공식 대입은 짧다. 배점은 무엇이 분모인지 정하는 자리다. "

\sim

인 것 중에서"라는 표현을 놓치면

P (A ∣ B)

와

P (B ∣ A)

가 뒤집힌다. 계산 연습을 줄이고 문장에서 조건에 밑줄을 긋고 그것을 분모로 적는 절차에 시간을 쓴다.

여기서 무너집니다

조건과 결과를 맞바꿔 놓고도 값이 이상하다는 것을 못 느낀다. 표로 세게 한다.

100

명이나

1

만 명 규모의 이원표를 그려 칸을 채우면, 어느 줄을 전체로 삼느냐에 따라 답이 크게 달라지는 것이 수로 보인다. 공식보다 표가 먼저다.

확인 질문

"불량품 중에서 A공장 제품일 확률"의 분모는 무엇입니까? "A공장 제품 중 불량일 확률"과 같은 값입니까?

"불량품 전체"와 "다르다"가 함께 나오면 통과. 같다고 하면 조건과 결과를 맞바꾼 것이니, 이원표에서 두 값을 실제로 계산해 견주게 한다.

개요

주사위를 던져 나온 눈이 짝수라는 것을 알았다고 하자. 이때 그 눈이 $6$ 일 확률은 얼마인가? 아무 정보도 없을 때는 $\frac{1}{6}$ 이지만, “짝수”라는 사실을 알고 나면 가능한 경우가 $2, 4, 6$ 셋으로 줄어 $\frac{1}{3}$ 이 된다.

이렇게 어떤 사건이 일어났다는 정보가 주어졌을 때의 확률이 조건부확률이다. 핵심은 한 문장으로 요약된다: 표본공간이 줄어든다. 조건이 주어지면 세는 무대 자체가 좁아지고, 그래서 분모가 $P(A)$ 로 바뀐다.

조건부확률을 실제로 계산할 때 쓰는 도구가 지금부터 배울 곱셈정리다. 그런데 정보를 얻어도 확률이 전혀 달라지지 않는 특별한 경우도 있다. 그 경우가 다음 소단원에서 다룰 독립이다.

정의

조건부확률: 사건 $A$ 가 일어났을 때 사건 $B$ 가 일어날 확률은 ( $P(A) > 0$ )

P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A)

이것은 “먼저 $A$ 가 일어나고, 그다음 그 상황에서 $B$ 가 일어난다”는 순서대로 읽으면 자연스럽다. 공을 연달아 꺼내는 문제가 대표적이다.
곱셈정리는 어느 쪽을 먼저 조건으로 잡아도 성립한다.

P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A) = P(B)\,P(A \mid B)

P(B^c \mid A) = 1 - P(B \mid A)

분모가 되는 표본공간이 이미 $A$ 로 좁혀져 있으므로, 그 안에서는 보통의 여사건과 똑같이 다룰 수 있다.

조건부확률의 핵심은 셀 무대가 줄어든다는 것뿐입니다. $A$ 가 일어났다면 전체가 아니라 $A$ 안에서 셉니다. 아래 첫 단계가 그것이고, 나머지는 분모와 분자를 같이 나누는 계산입니다.

P (B ∣ A) = \frac{n ( A \cap B )}{n ( A )}

A 가 일어났다면 셀 무대가 A 로 줄어든다. 그 안에서 B 인 경우를 센다.

1 / 4 단계

완료로 두면 확률과 통계 목차에 표시됩니다.