여섯 명이 원탁에 앉는 방법은 몇 가지일까 · 원순열

가족 여섯 명이 원탁에 둘러앉으려 한다. 앉는 방법은 몇 가지일까. 의자가 일렬로 놓여 있다면 첫 자리에 6명, 둘째 자리에 5명, … 이렇게 6! = 720가지다. 그런데 원탁에서는 모두가 한 칸씩 옆으로 옮겨 앉아도 누가 누구 옆에 있는지는 그대로다. 그런 배치는 같은 것으로 본다.

무엇을 같은 것으로 볼지 정하면, 경우의 수는 그만큼 나누어진다.

한 가지 원형 배치를 돌리면 시작 자리를 어디로 잡느냐에 따라 일렬 배치가 6가지 나온다. 그래서 일렬로 센 720가지를 6으로 나누면 원탁에 앉는 방법은 720 ÷ 6 = 120가지다. 식으로는 (6 − 1)! = 5! = 120이다. 한 사람(예를 들어 할머니)의 자리를 먼저 정해 기준으로 삼고, 나머지 다섯 명을 일렬로 세우는 것과 같다.

조건이 붙으면 그 사람들을 묶어서 센다. 부모님이 꼭 나란히 앉아야 한다면 두 분을 한 사람처럼 묶어 다섯 「사람」의 원순열 4! = 24가지를 만들고, 묶음 안에서 두 분이 자리를 바꾸는 2가지를 곱해 48가지다. 120가지 가운데 48가지, 곧 40%의 배치에서 부모님이 이웃한다.

목걸이에 구슬 여섯 개를 꿰는 것은 또 다르다. 목걸이는 돌릴 수도 있지만 뒤집을 수도 있어서, 원순열의 절반인 60가지가 된다. 같은 여섯 개를 늘어놓아도 「무엇을 같은 것으로 보는가」에 따라 720, 120, 60으로 답이 바뀐다. 경우의 수를 셀 때는 계산보다 이 기준을 먼저 정해야 한다.

이어서 학습하기