「둘 다 좋다」는 몇 명인가 · 합집합의 원소의 개수
30명 반에서 축구 18명, 농구 15명이면 더해서 33명. 3명 이상은 둘 다 좋아한다
- 18 + 15 − 26 둘 다 좋아하는 학생 7명
- ≥ 3 둘 다 안 좋아하는 수를 몰라도 확실한 최소
- 117% 복수 응답을 더하면 100%를 넘는다
30명인 반에 「축구를 좋아한다」, 「농구를 좋아한다」 두 문항으로 설문을 했다. 축구에 18명, 농구에 15명이 손을 들었다. 더하면 33명으로 반 인원보다 많다. 틀린 집계가 아니라 두 문항에 모두 손을 든 학생이 두 번 세어졌기 때문이다.
합이 전체를 넘으면, 넘친 만큼은 두 번 센 사람이다.
축구를 좋아하는 학생의 집합을 A, 농구를 좋아하는 학생의 집합을 B라 하자. 둘 중 하나라도 좋아하는 학생 수는 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)이다. 더할 때 두 번 들어간 교집합을 한 번 빼는 것이다. 설문에서 둘 다 좋아하지 않는다는 학생이 4명이었다면 n(A ∪ B) = 30 − 4 = 26이고, 둘 다 좋아하는 학생은 18 + 15 − 26 = 7명이다.
그 4명을 모른다고 해도 말할 수 있는 것이 있다. 합집합은 반 전체 30명을 넘을 수 없으므로 n(A ∩ B) = 33 − n(A ∪ B) ≥ 33 − 30 = 3. 적어도 3명은 둘 다 좋아한다. 거꾸로 교집합은 작은 쪽 15명을 넘을 수 없으니, 둘 다 좋아하는 학생은 3명에서 15명 사이다.
뉴스의 「복수 응답」 표를 읽을 때 이 식이 쓸모 있다. 「A 서비스 이용 62%, B 서비스 이용 55%」라는 조사에서 퍼센트를 더하면 117%다. 두 서비스를 모두 쓰는 사람이 적어도 17%라는 뜻이다. 반대로 둘 중 하나라도 쓰는 사람이 117%라고 읽으면 틀린다. 문항이 셋이면 세 집합의 합집합 공식으로 두 번 센 것을 빼고 세 번 센 것을 다시 더한다.