집합과 그 연산

개요

수학은 “모임”을 자주 다룬다. 짝수의 모임, 어떤 부등식의 해의 모임, 어느 반 학생의 모임 같은 것들이다. 그런데 “키가 큰 학생의 모임”은 곤란하다, 누가 들어가는지 사람마다 다르게 판단하기 때문이다. 누가 그 모임에 속하는지 누구나 똑같이 판정할 수 있을 때 그 모임을 집합이라 부른다. 이 한 가지 약속에서 시작해, 모임끼리 합치고 겹치고 빼는 연산을 정의한 것이 이 소단원이다.

집합은 그 자체로 큰 내용은 아니지만, 앞으로 배울 거의 모든 것의 말투가 된다. 다음 소단원의 명제, 함수의 정의역·치역, 확률에서의 사건이 전부 집합의 언어로 쓰인다. 기호에 익숙해지는 것이 이번 목표다.

핵심 사실

• 나타내는 법 두 가지: 원소나열법 $A = \{1, 2, 3, 6\}$ 과 조건제시법 $A = \{x \mid x 는 6의 양의 약수\}$. 원소가 많거나 무한하면 조건제시법이 유리하다.
• 부분집합: $A$ 의 모든 원소가 $B$ 에 속하면 $A \subset B$ 다. 두 집합이 서로 부분집합이면($A \subset B$ 이고 $B \subset A$) $A = B$ 다.
• 공집합 $\varnothing$ 은 원소가 하나도 없는 집합이며, 모든 집합의 부분집합이다.
• 부분집합의 개수: 원소가 $n$ 개인 집합의 부분집합은 $2^n$ 개다. 원소마다 넣거나 빼거나 두 가지를 고르는 일이 $n$ 번 잇따르기 때문이다(곱의 법칙). 자기 자신을 뺀 진부분집합은 $2^n - 1$ 개다.
• 합집합·교집합·여집합·차집합

$$A \cup B = \{x \mid x \in A \ \text{또는}\ x \in B\},\qquad A \cap B = \{x \mid x \in A \ \text{그리고}\ x \in B\}$$

• 전체집합 $U$ 안에서 $A$ 에 속하지 않는 원소의 집합이 여집합 $A^c$ 이고, $A - B = A \cap B^c$ 가 차집합이다.
• 드모르간의 법칙: 여집합을 취하면 $\cup$ 과 $\cap$ 이 서로 바뀐다.

$$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c,\qquad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c$$

• 원소의 개수: 겹치는 부분을 두 번 세지 않도록 뺀다. 합의 법칙에서 본 것과 같은 식이다.

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

• 서로소는 공통 원소가 없는 것, 곧 $A \cap B = \varnothing$ 인 경우다. 이때는 $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$ 로 그냥 더하면 된다.

두 원이 만드는 칸은 넷뿐입니다: $A$ 만, 둘 다, $B$ 만, 그리고 바깥. 위의 식은 전부 “이 넷 중 어디를 고르는가”를 말하고 있을 뿐입니다. 아래에서 칸을 직접 눌러 칠해 보고, 식을 눌러 어디가 칠해지는지 맞춰 보세요. $(A \cup B)^c$ 와 $A^c \cap B^c$ 를 차례로 누르면 같은 칸이 칠해집니다. 드모르간의 법칙은 외울 규칙이 아니라 여기서 눈으로 확인되는 사실입니다. 칸마다 개수를 밀어 보면 $n(A \cup B)$ 에서 왜 교집합을 한 번 빼야 하는지도 숫자로 따라옵니다.

드모르간: (A∪B)ᶜ 를 칠해 보기같은 칸인가? Aᶜ∩Bᶜ서로소일 때 (교집합 0)

칸을 눌러 직접 칠해 보거나, 아래 식을 눌러 어디가 칠해지는지 보세요.

A ∪ BA ∩ BA − BA^c(A ∪ B)^cA^c ∩ B^c(A ∩ B)^cA^c ∪ B^c 지우기

지금 칠한 곳은 A ∪ B 입니다. 원소는 12개.

n(A − B) = 5 n(A ∩ B) = 3 n(B − A) = 4 바깥 = 2

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 8 + 7 − 3 = 12 겹치는 3개를 두 번 세었으므로 한 번 뺀다

칠한 칸은 3개이고 원소는 12개입니다. 이 자리를 가리키는 식은 A ∪ B 입니다. n(A) = 8, n(B) = 7, n(A∩B) = 3, n(A∪B) = 12 입니다.