하루 중 25°C가 넘는 시간은 얼마나 될까 · 삼각부등식
최저 12°C, 최고 28°C인 날이라면 25°C 이상은 오전 11시 35분부터 오후 6시 25분까지다
- 20 ± 8°C 하루 기온의 평균과 진폭
- sin x ≥ 5/8 25°C 이상인 조건
- 6시간 50분 25°C 이상인 시간
봄날의 기온은 새벽에 가장 낮고 오후에 가장 높다. 이 하루의 변화를 사인 곡선으로 어림해 보자. 새벽 3시에 12°C로 가장 낮고 오후 3시에 28°C로 가장 높다면, 평균은 20°C, 진폭은 8°C, 주기는 24시간이다. 오전 9시에 평균을 지나며 올라가므로 T(t) = 20 + 8 sin(π(t − 9) ÷ 12)로 쓸 수 있다. t는 0시부터 센 시각이다.
되풀이되는 것을 식으로 놓으면, 몇 시부터 몇 시까지는 부등식 하나가 답한다.
25°C 이상인 시간을 찾으려면 20 + 8 sin(π(t − 9) ÷ 12) ≥ 25, 곧 sin(π(t − 9) ÷ 12) ≥ 5/8을 푼다. sin x ≥ 0.625인 x는 한 주기 안에서 약 0.675라디안부터 π − 0.675 ≈ 2.467라디안까지다. 사인 그래프가 가로줄 y = 0.625 위에 있는 구간이다.
이것을 시각으로 바꾸면 π(t − 9) ÷ 12가 0.675에서 2.467 사이이므로 t − 9는 약 2.58에서 9.42 사이, t는 약 11.58에서 18.42 사이다. 오전 11시 35분쯤부터 오후 6시 25분쯤까지, 6시간 50분 정도가 25°C 이상이다. 가장 더운 3시를 가운데 두고 앞뒤로 대칭인 것도 사인 그래프의 모양에서 나온다.
실제 기온은 구름, 바람, 해 뜨는 시각에 따라 이 곡선에서 벗어난다. 특히 해가 진 뒤에는 천천히 식어 곡선보다 늦게 내려간다. 그래도 매일 되풀이되는 변화를 한 줄의 식으로 놓으면 「몇 시부터 몇 시까지」라는 질문에 부등식 하나로 답할 수 있다.