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삼각방정식과 삼각부등식

삼각함수의 값이 주어졌을 때 그 값을 만드는 각을 거꾸로 찾으면, 주기함수라 구간 안에 해가 여러 개 나온다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

각 하나를 찾는 것은 대부분 한다. 배점은 구간 안의 나머지 해를 빠짐없이 찾는 자리다. 주기함수라 해가 여러 개인데 하나만 쓰고 끝내면 부분점수도 어렵다. 단위원을 그려 구간을 한 바퀴 훑는 절차를 표준으로 삼는다.

여기서 무너집니다

예각 하나를 구하고 멈춘다. 방정식은 답이 하나라는 인상이 남아 있어서다. 단위원에 수평선을 긋게 한다.

sin θ = \frac{1}{2}

이면 높이가 같은 점이 두 개 생기는 것이 그림에 바로 보인다. 그림을 먼저 그리는 순서로 바꾸면 빠뜨리지 않는다.

확인 질문

$0 \leq θ < 2 π$ 에서 $sin θ = \frac{1}{2}$ 의 해를 모두 구해 보세요.

$\frac{π}{6}$ 과 $\frac{5 π}{6}$ 이 함께 나오면 통과. 하나만 쓰면 주기함수라는 것을 답에 반영하지 못한 것이니, 단위원에서 대칭인 점을 짚어 준다.

개요

05에서 우리는 각 $\theta$ 가 무엇이든 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 이 항상 성립한다는 항등식을 확인했다. 이번에는 반대 방향의 질문을 다룬다. $\sin\theta=\dfrac12$ 처럼 삼각함수의 값이 특정 수로 주어졌을 때, 그 값을 만들어 내는 각 $\theta$ 를 거꾸로 찾는 것, 이것이 삼각방정식이다.

삼각함수는 03에서 보았듯이 주기함수다. 그래서 각의 범위를 정해 주지 않으면 해가 끝없이 많아진다. 시험 문제는 보통 $0 \le \theta < 2\pi$ ( $0° \le \theta < 360°$ )처럼 한 바퀴만큼의 구간을 정해 주는데, 그 구간 안에서도 단위원이나 그래프를 한 바퀴 훑어보면 해가 하나가 아니라 여러 개 나오는 경우가 대부분이다.

여기에 05의 항등식을 더하면 더 복잡한 방정식도 풀 수 있다. $\sin\theta$ 와 $\cos\theta$ 가 섞여 있으면 한 종류로 통일한 뒤 문자 하나로 치환해 이차방정식으로 바꾸는 것이다. 그리고 등식의 해를 구할 줄 알면 부등식도 어렵지 않다. 등식의 해로 구간을 나눈 뒤, 그래프에서 부등호를 만족하는 쪽을 읽으면 된다.

핵심 사실

정의

삼각방정식과 구간: 삼각방정식은 $\sin\theta=k$ 처럼 삼각함수 값이 주어진 방정식이다. 삼각함수는 주기함수이므로 각의 범위(예: $0 \le \theta < 2\pi$ )를 정해 주고 그 안에서 해를 모두 찾는다.

단위원 또는 그래프에서 해 찾기: $\sin\theta=k$ 는 단위원에서 $y$ 좌표가 $k$ 인 점을, $\cos\theta=k$ 는 $x$ 좌표가 $k$ 인 점을 찾는 것과 같다. 한 구간 안에 그런 점이 두 개 있으면 해도 두 개다.

아래 단위원에서 두 프리셋을 눌러 보세요. $\sin\theta=\dfrac12$ 를 만족하는 각이 $\dfrac{\pi}{6}$ 하나가 아니라 $\dfrac{5\pi}{6}$ 에도 있다는 것이, $y$ 좌표가 같은 두 점으로 그대로 보입니다. (위젯의 슬라이더는 도(°)로 움직이고, 그 아래에 같은 각의 라디안 값이 함께 표시됩니다.)

각 θ (도)

각 30도(π/6 라디안), 제1사분면. cos 0.866, sin 0.500. 제곱의 합은 1.000 로 언제나 1 입니다.

한 종류로 통일하고 치환한다: $\sin\theta$ 와 $\cos\theta$ 가 뒤섞인 방정식은 05의 관계식으로 한쪽을 다른 쪽으로 바꿔 한 종류로 통일한다. 그 다음 $t$ 로 치환하면 낯익은 이차방정식이 된다.

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \;\Rightarrow\; \cos^2\theta = 1-\sin^2\theta

치환한 변수의 범위를 반드시 확인한다: $\sin\theta$ , $\cos\theta$ 는 항상 $-1 \le t \le 1$ 이다. 이차방정식의 근 중에는 이 범위를 벗어나는 값이 나올 수 있고, 그런 근은 대응하는 $\theta$ 가 존재하지 않으므로 버려야 한다.
삼각부등식은 등식부터 푼다: $\sin\theta > k$ 같은 부등식은 먼저 등호로 바꿔 경계각을 구한다. 그 다음 그래프(또는 단위원)에서 부등호의 방향에 맞는 구간을 읽는다. 등호가 있는 부등식( $\ge$ , $\le$ )이면 경계각을 포함하고, 없는 부등식( $>$ , $<$ )이면 제외한다.

완료로 두면 대수 삼각함수 목차에 표시됩니다.