레오나르도 피보나치

피보나치의 아버지는 북아프리카 부자(Bugia)에서 일하던 피사의 무역 관리였다. 소년 시절 아버지를 따라간 그는 그곳 상인들이 계산하는 방식을 보고 충격을 받는다. 유럽은 여전히 로마 숫자를 쓰고 있었다. MCMXLVIII 같은 표기로는 덧셈도 버겁고 곱셈은 사실상 전문가의 일이었다. 반면 아랍 상인들은 열 개의 기호와 자릿값, 그리고 '비어 있음'을 뜻하는 0으로 종이 위에서 곧바로 계산하고 있었다.

1202년 그는 『산반서(Liber Abaci)』를 냈다. 이 책의 대부분은 환전, 이자, 물건값 나누기 같은 실무 계산이다. 새 숫자가 장부에서 얼마나 편한지를 보여 준 것이 유럽의 표기를 바꾸었다. 그 안에 예제로 들어 있던 것이 토끼 문제였다. 한 쌍의 토끼가 두 달 뒤부터 매달 한 쌍을 낳는다면 달마다 토끼는 몇 쌍인가. 답은 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 … 앞의 두 수를 더하면 다음 수가 된다.

이 수열은 등차도 등비도 아니다. 등차수열은 차가 일정해 aₙ = a₁ + (n − 1)d 로 곧장 적히고, 등비수열은 비가 일정해 aₙ = a₁rⁿ⁻¹ 이 된다. 피보나치 수열은 aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ 라는 관계식만 주어져 앞을 알아야 뒤를 아는 형태다. 점화식으로 정의된 수열의 대표 사례다. 그런데 이웃한 두 항의 비를 계속 계산해 보면 1.6180…에 가까워진다. 황금비다. 등비수열이 아닌데도 멀리 가면 등비수열처럼 행동하는 셈이다.

주요 업적

• 『산반서』(1202)로 아라비아 숫자와 0, 자릿값 체계를 유럽에 정착시킴
• 환전·이자·비례배분 등 상업 계산법을 체계적으로 정리
• 토끼 문제를 통해 점화식으로 정의되는 수열의 예를 남김
• 이웃 항의 비가 황금비에 수렴하는 성질의 발단을 제공

관련 공식

• 📐 등차수열의 일반항
• 📐 등비수열의 일반항