라그랑주는 이탈리아 토리노에서 태어났다. 처음엔 고전 공부를 했지만 열일곱에 수학으로 돌아섰고, 열아홉에 토리노 포병학교의 교수가 됐다. 오일러와 편지를 주고받으며 이름을 알렸고, 오일러가 떠난 베를린 학술원의 자리를 이어받았다. 쉰 살이 넘어 파리로 옮겨 그곳에서 생을 마쳤다.
1788년 『해석 역학』은 그림 한 장 없이 역학 전체를 식으로만 썼다. 1797년 『해석 함수론』에서는 도함수를 f′(x), f″(x) 로 적는 표기를 들여왔고, 구간에서 평균 기울기와 같은 순간 기울기를 갖는 점이 어딘가에 있다는 평균값 정리를 지금 우리가 쓰는 꼴로 세웠다. 조건이 붙은 상태에서 최댓값과 최솟값을 찾는 라그랑주 승수법도 그의 것이다. 프랑스 혁명기에는 미터법을 만드는 위원회에서 길이와 무게의 단위를 십진법으로 정하는 일을 맡았다.
평균값 정리는 도함수가 0 이면 상수함수라는 당연해 보이는 사실을 증명하는 발판이다. 증가와 감소를 도함수의 부호로 판정하는 고2 미분의 규칙이 모두 이 정리를 거쳐 나온다. 그래서 미분 단원에서 증명을 묻는 문제가 나오면 대개 이 정리가 한가운데 있다. 파리 에펠탑 둘레에는 프랑스의 과학자 72명의 이름이 새겨져 있는데, 라그랑주도 그 가운데 하나다.
주요 업적
- 도함수의 프라임 표기 f′(x) 도입(1797)
- 평균값 정리를 오늘날의 꼴로 정식화
- 『해석 역학』(1788)으로 역학을 식만으로 재구성
- 프랑스 혁명기 미터법 제정 위원회에 참여
시험에서는
평균값 정리는 롤의 정리를 기울여 놓은 것이다. f(b) − f(a) = f′(c)(b − a) 를 만족하는 c 가 a 와 b 사이에 있다. f′(x) > 0 이면 증가, f′(x) = 0 이면 상수, |f′(x)| ≤ M 이면 |f(b) − f(a)| ≤ M|b − a| 라는 세 문장이 모두 여기서 나온다.