규칙 찾기와 대응

개요

수학에서 가장 자주 하는 일 하나가 “다음에 무엇이 올까?” 를 알아내는 것이다. 색깔 무늬가 반복되거나, 수가 일정하게 늘어나거나, 계산식이 나란히 놓여 있을 때 그 안에는 대개 규칙이 숨어 있다. 규칙을 찾으면 백 번째, 천 번째도 하나하나 세지 않고 알 수 있다.

한 걸음 더 나아가면 대응이다. 규칙 찾기가 “한 줄이 어떻게 변하는가”를 보는 것이라면, 대응은 두 양이 서로 어떻게 짝을 이루는가를 보는 것이다. 예를 들어 자동차 수가 늘면 바퀴 수도 함께 늘고, 그 둘 사이에는 “바퀴 = 자동차 × 4” 라는 관계가 있다. 이 관계를 식으로 쓰는 연습이 중학교에서 배울 함수의 출발점이다. 초등 1학년의 무늬 규칙부터 5학년의 대응 관계까지 하나의 이야기로 이어져 있다.

핵심 사실

• 늘어나거나 줄어드는 규칙: $3, 6, 9, 12, \dots$ 는 $3$ 씩 커진다. 이웃한 두 수의 차를 구해 보면 규칙이 보인다. 차가 일정하면 “몇씩 뛰어 세기”다.
• 곱해지는 규칙도 있다. $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ 은 차가 일정하지 않지만 $2$ 배씩 커진다. 차로 안 보이면 몇 배인지를 본다.
• 계산식의 규칙: 나란히 놓인 식에서도 규칙을 읽는다. 아래 식들에서는 “홀수를 차례로 더하면 제곱수가 된다”는 규칙을 찾을 수 있다.

$$1 = 1^2,\quad 1 + 3 = 2^2,\quad 1 + 3 + 5 = 3^2$$

• 대응 관계: 두 양이 하나씩 짝을 이루는 관계다. 자동차가 $1, 2, 3, \dots$ 대일 때 바퀴는 $4, 8, 12, \dots$ 개이므로, 자동차 수를 $\square$, 바퀴 수를 $\triangle$ 라 하면

$$\triangle = \square \times 4$$

• 대응 관계를 식으로 쓰는 순서: ① 표로 정리한다 → ② 한쪽이 $1$ 커질 때 다른 쪽이 얼마나 커지는지 본다 → ③ 그 수를 곱해 보고, 모자라거나 남는 만큼 더하거나 뺀다.
• 예를 들어 $\square$ 가 $1, 2, 3$ 일 때 $\triangle$ 가 $3, 5, 7$ 이면, $2$ 씩 커지므로 먼저 $\square \times 2$ 를 놓는다. $\square = 1$ 일 때 $2$ 인데 실제로는 $3$ 이므로 $1$ 을 더해 $\triangle = \square \times 2 + 1$ 이다.
• 식을 세우면 묻지 않은 값도 바로 구한다. 위 식에서 $\square = 100$ 이면 $\triangle = 201$ 이다. 표를 $100$ 번째까지 늘려 쓸 필요가 없다.