곡선의 길이 공식 · 유도와 예제

곡선을 잘게 꺾어 선분으로 이으면 길이를 잴 수 있다. 조각마다 피타고라스를 쓰고 모두 더한 뒤 조각을 무한히 잘게 만드는 것이 전부다. 근호 안이 제곱의 합인 이유가 바로 그 피타고라스다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

곡선을 잘게 꺾어 선분으로 이으면 조각 하나가 직각삼각형의 빗변이 된다. 가로 변화와 세로 변화를 두 변으로 하는 그 삼각형이 근호 안의 제곱의 합이다. 조각을 무한히 잘게 만들면 합이 적분이 된다.

Δ ℓ = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}

곡선을 점 여러 개로 잘게 꺾어 잇는다. 조각 하나는 직선이므로 그 길이는 가로 변화와 세로 변화를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이다.

1 / 2 단계· 💎 2단계 더

외우지 않아도 된다

짧은 조각의 빗변을 더한 것이고 근호 안의 제곱의 합이 그 피타고라스이기 때문이다.

곡선을 꺾은선으로 바꿔 조각 하나를 그린다. 가로와 세로를 두 변으로 하는 직각삼각형이 보이면 끝이다. y = f(x) 꼴의 1 은 x 방향으로 나아간 몫이라, 수평선이면 근호 안이 1 이 되어 길이가 구간의 폭이 되는 것으로 검산할 수 있다.

아래끝 a = 0 위끝 b = 2 쪼갠 수 n = 4

꺾은선 4조각의 길이 = 4.627 조각마다 가로 Δx 와 세로 Δy 로 직각삼각형을 세우고 빗변 √(Δx² + Δy²) 을 더한 값이다

곡선의 길이 ∫_a^b √(1 + f′(x)²) dx ≈ 4.647

모자란 길이 = 0.02 두 점 사이는 곧은 선이 가장 짧아서 꺾은선은 곡선보다 늘 짧다. n 을 늘리면 조각이 곡선에 붙으며 차이가 0 으로 간다. 그 끝이 위의 적분이다. 이 값만은 원시함수가 초등함수로 안 적혀 잘게 쪼개 잰 값이다

n 4 · 꺾은선 4.627 · 곡선 4.647 · 차 0.02

y = x² 의 0 부터 2 까지를 4 조각의 꺾은선으로 이었습니다. 꺾은선의 길이는 4.627 이고 곡선의 길이는 4.647 입니다. 꺾은선은 곡선보다 늘 짧습니다.