중3 기하
정삼각형의 높이와 넓이
정삼각형은 세 변이 같아 밑변은 바로 알지만 높이가 주어지지 않는다. 그런데 꼭짓점에서 수선을 내리면 직각삼각형이 생기고, 피타고라스 정리가 그 높이를 한 줄로 내놓는다. 높이가 나오면 넓이는 따라 나오므로 정삼각형은 한 변 하나로 모든 것이 정해진다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 정삼각형에 내린 수선이 밑변을 이등분한다는 것을 안다
- 피타고라스 정리로 한 변에서 높이를 구한다
- 한 변만 주어진 정삼각형의 넓이를 구한다
한 단계씩 유도해 보기
한 변이 a 인 정삼각형에서 꼭짓점 하나를 골라 마주 보는 변에 수선을 내린다. 정삼각형은 그 수선을 접는 선으로 삼아 좌우가 포개지므로 수선의 발이 밑변의 한가운데에 온다. 그래서 갈라진 두 조각의 밑변이 각각 a 의 절반이다.
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
수선이 밑변을 이등분하므로 빗변 a, 밑변 a 의 절반인 직각삼각형이 생긴다. 피타고라스 정리 한 번이면 높이가 나온다.
정삼각형을 하나 그리고 수선을 내려 반으로 접어 본다. 직각삼각형의 빗변이 a, 밑변이 a 의 절반이므로 높이의 제곱은 a 의 제곱의 4 분의 3 이다. 높이에 √3/2, 넓이에 √3/4 중 어느 것이 붙는지 헷갈리면 넓이에는 반으로 나누는 단계가 한 번 더 있다는 것만 떠올린다. a = 2 로 검산하면 높이도 √3, 넓이도 √3 으로 둘 다 간단히 나온다.