피타고라스 정리

개요

앞의 세 편에서 삼각형과 사각형의 성질, 그리고 도형의 닮음을 다뤘다. 모두 각과 변의 관계를 말과 조건으로 정리한 것이었다. 이번에는 그 관계를 하나의 등식으로 적는다. 직각삼각형의 세 변을 제곱으로 묶는 이 정리가 중학 기하에서 처음 만나는 변 사이의 등식이고, 중3 의 제곱근과 고1 의 좌표평면 거리 공식이 모두 여기서 이어진다.

핵심 사실

• 증명 아이디어: 한 변이 $(a + b)$ 인 큰 정사각형을 그리고, 그 안에 변이 $a, b, c$ 인 직각삼각형 $4$ 개를 모서리에 채운다. 그러면 가운데에 변이 $c$ 인 정사각형이 남는다. 넓이를 두 가지로 세어 비교하면

$$c^2 = (a + b)^2 - 4 \cdot \tfrac{1}{2}ab = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + b^2$$

• 대표 피타고라스 수: 변의 길이가 정수로 딱 떨어지는 대표적인 삼각형이 있다. $3, 4, 5$ / $5, 12, 13$ / $6, 8, 10$ 이며, 이들의 배수도 그대로 성립한다($6, 8, 10$ 은 $3, 4, 5$ 의 $2$ 배다).
• 역도 성립한다: 세 변이 $c^2 = a^2 + b^2$ 를 만족하면, 그 삼각형은 반드시 직각삼각형이다. 즉 이 식으로 직각인지 아닌지를 판별할 수 있다.
• 피타고라스 정리의 활용: 특별한 도형 둘은 선을 하나 그어 직각삼각형을 만들면 한 변만으로 나머지가 그 자리에서 나온다.
  • 정삼각형 (한 변 $a$): 꼭짓점에서 내린 수선이 밑변을 이등분하므로 빗변 $a$, 밑변 $\dfrac{a}{2}$ 인 직각삼각형이 생긴다. 높이 $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$, 넓이 $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ 다. (정삼각형의 높이와 넓이)
  • 정사각형 (한 변 $a$): 대각선이 직각을 낀 두 변이 모두 $a$ 인 직각삼각형 둘로 가르므로 대각선 $d = \sqrt{2}\,a$ 다. (정사각형의 대각선)

아래 퍼즐로 위 증명을 손으로 재현해 보세요. 네 개의 직각삼각형 조각을 큰 정사각형의 모서리로 옮기면, 가운데에 남는 정사각형의 넓이가 바로 $c^2$ 입니다. 조각의 자리를 바꿔도 삼각형 네 개가 차지하는 넓이는 그대로이므로, 남는 가운데 넓이가 곧 $a^2 + b^2$ 와 같아지는 것을 눈으로 확인할 수 있습니다. 프리셋의 ‘두 변이 같은 삼각형’처럼 빗변이 $\sqrt{2}$ 로 정수가 아니어도 정리는 똑같이 성립합니다. 피타고라스 수는 그중 변이 정수로 딱 떨어지는 특별한 경우일 뿐입니다.

5·12·13두 변이 같은 삼각형

a = 3 · b = 4 · c = 5

조각 0 / 4 다시 놓기

네 조각을 모서리로 옮겨 채워 보세요.