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미적분
음함수의 미분법
dxdf(y)=f′(y)dxdy
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x² + y² = 25 처럼 y 가 따로 풀려 있지 않은 식도 그대로 미분할 수 있다. y 를 x 의 함수로 보고 양변을 x 로 미분하면 y 가 든 항마다 합성함수의 미분법이 걸려 dy/dx 가 하나씩 붙는다. 그다음 dy/dx 를 미지수로 보고 풀면 끝난다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- y 를 x 의 함수로 보고 양변을 x 로 미분한다
- y 가 든 항을 미분할 때마다 dy/dx 를 곱한다
- dy/dx 에 대해 정리해 곡선 위 한 점의 접선의 기울기를 구한다
한 단계씩 유도해 보기
원 x² + y² = 25 위의 점 (3, 4) 에서 접선을 그었다. y 를 x 의 함수로 보고 양변을 미분하면 기울기가 −x/y 로 나와 이 점에서 −3/4 이다. 반지름의 기울기 4/3 과 곱하면 −1 이라 접선이 반지름과 직각인 그림과 맞는다. y=g(x)⇒f(y)=f(g(x))
식이 y 에 대해 풀려 있지 않아도 y 는 x 에 따라 정해지는 값이다. 그 관계를 g 라 두면 y 가 든 항은 x 의 합성함수가 된다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
합성함수의 미분법을 y 에 쓴 것뿐이다. y 를 x 의 함수로 본다는 한 가지만 붙들면 된다.
y 가 든 항은 겉을 미분한 뒤 dy/dx 를 곱한다고 적어 둔다. 원 x² + y² = r² 에서 −x/y 가 나오는지로 검산한다. 원의 접선은 반지름과 직각이라 반지름의 기울기 y/x 와 곱하면 −1 이어야 한다.
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t = 0.8 dx/dt = −2.15 dy/dt = 2.09
dy/dx = 2.09 ÷ −2.15 = −0.97
점 P(2.09, 2.15) · 두 변화율을 두 변으로 놓으면 빗변이 접선 방향이다
음함수로 미분하면 −x ÷ y = −2.09 ÷ 2.15 = −0.97 · 위와 같은 값
t 를 밀면 점이 곡선을 따라 가고 그 자리의 접선이 함께 기운다. 가로 변화 dx/dt 와 세로 변화 dy/dt 를 두 변으로 놓으면 빗변의 기울기가 곧 접선의 기울기다. t 를 없앨 필요가 없다.
등속 원운동 x = 3 cos t · y = 3 sin t 위의 t 가 0.8 이고 점 P 는 2.09, 2.15 입니다. dx/dt 는 −2.15, dy/dt 는 2.09 이고 그 비인 기울기는 −0.97 입니다.
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