고1 기하
두 원의 공통현의 방정식
두 점에서 만나는 두 원 x² + y² + Ax + By + C = 0 과 x² + y² + A′x + B′y + C′ = 0 이 있으면, 한 식에서 다른 식을 빼기만 해도 공통현의 방정식이 나온다. 빼는 순간 x² 과 y² 이 지워져 일차식, 곧 직선이 남고, 두 교점은 두 식을 다 만족하므로 그 직선 위에 있기 때문이다. 교점을 구하지 않고 현이 놓인 직선을 얻는다. 교과서가 성취기준의 공식으로 세우지는 않고(교육과정 밖) 두 직선의 교점을 지나는 직선과 같은 생각의 관례 공식이지만, 공통현의 길이를 묻는 문제의 첫 줄이라 이 편을 싣는다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 두 원의 방정식을 빼서 공통현의 방정식을 구한다
- 빼서 나온 직선이 두 교점을 지나는 까닭을 설명한다
- 중심에서 공통현까지의 거리로 공통현의 길이를 구한다
한 단계씩 유도해 보기
두 원의 교점 하나를 (p, q) 라 하자. 교점은 두 원 위에 다 있으므로 두 식에 넣으면 둘 다 0 이다. 두 식 모두 x² 과 y² 의 계수가 1 인 꼴로 맞춰 둔다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
두 교점이 두 원의 식을 다 만족하므로 빼도 만족하고, 빼면 이차항이 지워져 직선이 남는다.
두 식을 x² + y² 의 계수가 1 인 = 0 꼴로 맞추고 뺀다. 공통현의 길이는 한 원의 중심에서 이 직선까지의 거리 d 를 재어 2√(r² − d²) 로 구한다. 반지름과 거리와 현의 절반이 직각삼각형을 이루기 때문이다.