높이 찬 공은 몇 초 동안 사람 키보다 높이 떠 있나 · 이차부등식

공을 위로 똑바로 초속 20m로 차 올렸다고 하자. 공기 저항을 무시하고 중력가속도를 10m/s²로 어림하면, t초 뒤 공의 높이는 h(t) = 20t − 5t²(m)이다. t = 2일 때 꼭대기 20m에 닿고, t = 4일 때 다시 땅에 떨어진다.

부등식의 해는 숫자가 아니라 시간의 구간이다. 포물선이 가로줄 위에 머무는 동안이다.

이 공이 15m보다 높이 있는 시간은 얼마일까. 20t − 5t² ≥ 15를 풀면 된다. 정리하면 t² − 4t + 3 ≤ 0, 즉 (t − 1)(t − 3) ≤ 0이고 해는 1 ≤ t ≤ 3이다. 4초 동안 날아다니는 공이 그중 2초를 15m 위에서 보낸다. 꼭대기 근처에서는 공이 느려서 오래 머물기 때문이다.

사람 키 2m보다 높이 있는 시간도 같은 방법으로 구한다. 5t² − 20t + 2 ≤ 0의 두 근은 근의 공식으로 t = (20 ± √360) ÷ 10, 약 0.10초와 3.90초다. 공은 차자마자 0.1초 만에 키를 넘고, 떨어지기 0.1초 전까지 그 위에 있다. 날아 있는 시간 4초 가운데 3.8초다.

이차부등식의 답이 「두 근 사이」로 나오는 것은 그래프로 보면 당연하다. 높이의 그래프는 위로 볼록한 포물선이고, 어떤 높이 k에 그은 가로줄과 만나는 두 점 사이에서만 포물선이 줄보다 위에 있다. 줄을 20m까지 올리면 두 점이 t = 2 하나로 붙어 판별식이 0이 되고, 그보다 높이면 만나지 않는다. 공이 25m에 닿는 순간을 찾는 방정식에 실근이 없다는 것은, 이 공이 거기까지 가지 못한다는 뜻이다.

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