이차부등식과 그래프

개요

Unit 4에서 우리는 “그래프와 $x$ 축의 교점 = 이차방정식의 해”라는 사실을 확인했다. 포물선이 $x$ 축과 만나는 그 점들이 곧 방정식의 답이었다. 이번에는 한 걸음 더 나아가, 그 교점들의 사이와 바깥을 읽는다. 방정식이 “어디서 만나느냐”를 물었다면, 부등식은 “어디서 위에 있고 어디서 아래에 있느냐”를 묻는다. 답이 점 하나가 아니라 $x$ 의 구간으로 나온다는 점이 새롭다.

핵심 사실

• 이차부등식의 해는 포물선이 $x$ 축의 어느 쪽에 있는지로 정해진다. $ax^2 + bx + c < 0$ 의 해는 그래프가 $x$ 축 아래에 있는 $x$ 의 구간이고, $> 0$ 의 해는 그래프가 $x$ 축 위에 있는 $x$ 의 구간이다.
• $a > 0$ 이고 두 근이 $\alpha < \beta$ 일 때(아래로 볼록한 포물선):
  • $ax^2 + bx + c < 0$ 의 해는 $\alpha < x < \beta$, 두 근 사이(포물선이 축 아래로 내려간 구간).
  • $ax^2 + bx + c > 0$ 의 해는 $x < \alpha$ 또는 $x > \beta$, 두 근 바깥.
• 등호가 붙으면($\leq$, $\geq$) 경계인 근 자체도 해에 포함된다. 예를 들어 $\leq 0$ 의 해는 $\alpha \leq x \leq \beta$ 처럼 양 끝을 포함한다.
• 그래프가 $x$ 축과 만나지 않으면(판별식 $b^2 - 4ac < 0$, $a > 0$ 기준) 포물선 전체가 축 위에 떠 있다. 이때 $> 0$ 의 해는 모든 실수, $< 0$ 의 해는 없다. 여기서 “해가 없다”는 실수 범위의 이야기다. 복소수까지 넓히면 이때도 방정식은 서로 켤레인 두 허근을 갖는다.

아래 슬라이더로 직접 확인해 보세요. 기본값 $y = x^2 - 4x + 3$ 에서 그래프가 $x$ 축 아래로 내려가는 구간은 $1 < x < 3$ 입니다. 이것이 바로 $x^2 - 4x + 3 < 0$ 의 해입니다. 프리셋 ‘x축과 안 만남’은 $y = x^2 - 4x + 5$ 로, 판별식이 $16 - 20 < 0$ 이라 그래프 전체가 $x$ 축 위에 떠 있습니다. 이 경우 $> 0$ 은 모든 실수에서 성립하고, $< 0$ 은 해가 없다는 것을 눈으로 확인해 보세요.

위로 볼록 (a<0)x축과 안 만남기본으로

a = 1.0b = -4.0c = 3.0

D = b² − 4ac = 4.00 → 서로 다른 두 실근 D 의 부호만으로 x축과 몇 번 만나는지가 정해진다 α + β = −b/a = 4.00   αβ = c/a = 3.00 실제 두 근 1.00 과 3.00 을 더하고 곱해도 같다

a (구부러짐) b (기울기) c (y절편)

꼭짓점 (2.00, -1.00), 아래로 볼록. 판별식 4.00, 서로 다른 두 실근.

프리셋 ‘위로 볼록’처럼 $a < 0$ 이면 포물선이 뒤집혀 위·아래 관계가 반대가 됩니다. 이럴 때는 “사이/바깥”을 통째로 외우려 하지 말고, 그래프를 떠올려 아래로 내려간 구간이 어디인지 그때그때 읽는 편이 안전합니다.