생활·측정 미적분
풍선은 왜 처음에만 빨리 커질까 · 합성함수의 미분
공기를 같은 빠르기로 넣어도 반지름 10cm에서는 5cm일 때보다 4배 느리게 커진다
- dV/dt = 4πr² · dr/dt 부피와 반지름의 변화율 잇기
- 0.32cm/s 반지름 5cm일 때 커지는 빠르기
- 0.08cm/s 반지름 10cm일 때. 4분의 1이다
풍선에 1초에 100㎤씩 일정하게 공기를 넣는다. 그런데 보고 있으면 풍선은 처음에 빨리 부풀다가 점점 천천히 커지는 것 같다. 반지름이 커지는 빠르기를 계산해 보자. 풍선을 구로 보면 부피는 V = (4/3)πr³이다.
한쪽의 변화율을 알면, 사슬을 따라 다른 쪽의 변화율이 나온다.
부피도 반지름도 시간에 따라 변한다. V는 r의 함수이고 r은 t의 함수이니, V를 t로 미분하면 합성함수의 미분법에 따라 dV/dt = (dV/dr) × (dr/dt) = 4πr² × dr/dt이다. 4πr²은 공의 겉넓이다. 공기 100㎤가 겉넓이만큼 얇게 펴져 반지름을 늘린다고 읽을 수 있다.
dV/dt = 100이므로 dr/dt = 100 ÷ (4πr²)이다. 반지름이 5cm일 때 100 ÷ (4π × 25) ≈ 0.32cm/s, 10cm일 때 100 ÷ (4π × 100) ≈ 0.08cm/s다. 반지름이 두 배가 되면 겉넓이가 네 배가 되니, 같은 공기로 늘어나는 반지름은 4분의 1이 된다. 풍선이 처음에만 빨리 커지는 것처럼 보이는 이유다.
이처럼 서로 묶여 변하는 두 양의 변화율을 이어 주는 것이 합성함수의 미분법이다. 원뿔 모양 컵에 물을 일정하게 부을 때 수면이 올라가는 빠르기, 기름이 둥글게 퍼질 때 반지름이 늘어나는 빠르기도 같은 방법으로 구한다. 한쪽의 변화율을 알면 사슬을 따라 다른 쪽의 변화율이 나온다.