생활·측정 미적분
포물선 그릇에 절반 높이까지 물을 부으면 · 회전체의 부피
높이의 절반까지 채운 물은 그릇 부피의 절반이 아니라 4분의 1이다
- 4πh² 높이 h까지 찬 물의 부피
- 804㎤ 깊이 8cm까지 가득 찼을 때
- 1/4 절반 높이까지 채운 비율
옆에서 본 단면이 포물선 y = x² ÷ 8(cm)인 그릇이 있다. 바닥이 뾰족하고 위로 갈수록 넓어진다. 깊이 8cm까지 물을 가득 채우면 몇 ㎤일까. 이 그릇은 포물선을 y축을 중심으로 돌려 만든 회전체이므로 정적분으로 부피를 구한다.
그릇 아래가 좁으면, 절반 높이에는 절반이 담기지 않는다.
높이 y에서 그릇을 가로로 자르면 반지름이 x인 원이 나온다. x² = 8y이므로 그 원의 넓이는 πx² = 8πy다. 이 넓이를 높이 0부터 h까지 쌓으면 부피는 V(h) = ∫ 8πy dy = 4πh²이다. 가득 채운 h = 8이면 256π ≈ 804㎤다.
그럼 물을 높이 4cm, 곧 절반 높이까지 부으면 얼마일까. V(4) = 4π × 16 = 64π ≈ 201㎤로, 가득 찬 양의 4분의 1이다. 부피가 높이의 제곱에 비례하기 때문이다. 그릇의 아래쪽이 좁아서 아래 절반에는 물이 조금밖에 들어가지 않는다. 거꾸로 반만 채우려면 높이 8 ÷ √2 ≈ 5.66cm까지 부어야 한다.
원기둥 컵이라면 절반 높이가 절반 부피다. 원뿔 컵이라면 부피가 높이의 세제곱에 비례해 절반 높이에 8분의 1만 찬다. 칵테일 잔이나 깔때기에 「반만」 따르면 생각보다 적게 담기는 것이 이 때문이다. 단면이 어떤 모양으로 넓어지느냐가 정적분 안에 들어가 부피와 높이의 관계를 정한다.