생활·측정 미적분
종이 한 장으로 가장 큰 상자를 만드는 법 · 도함수의 활용
30cm 정사각형 종이는 네 귀퉁이를 5cm씩 잘라 접을 때 2,000㎤로 가장 크다
- x = 5cm 잘라 낼 귀퉁이의 한 변
- 2,000㎤ 가장 큰 부피
- a/6 종이 한 변이 a일 때의 답
한 변이 30cm인 정사각형 종이의 네 귀퉁이에서 같은 크기의 정사각형을 잘라 내고 옆면을 접어 올리면 뚜껑 없는 상자가 된다. 많이 잘라 내면 상자가 깊어지지만 바닥이 좁아지고, 조금 잘라 내면 바닥은 넓지만 얕아진다. 부피가 가장 큰 것은 몇 cm를 잘라 낼 때일까.
도함수가 0인 곳은, 더 늘리면 손해가 되기 시작하는 곳이다.
잘라 내는 정사각형의 한 변을 x cm라 하면 상자의 바닥은 (30 − 2x) × (30 − 2x), 높이는 x다. 부피는 V(x) = x(30 − 2x)²이고 0 < x < 15이다. 미분하면 V′(x) = (30 − 2x)² − 4x(30 − 2x) = (30 − 2x)(30 − 6x)이다. 구간 안에서 V′ = 0인 곳은 x = 5다.
x < 5에서는 V′ > 0이라 부피가 늘고, x > 5에서는 V′ < 0이라 준다. 그래서 x = 5에서 최대이고, 그때 상자는 바닥 20 × 20cm, 높이 5cm로 부피가 2,000㎤다. 3cm를 잘라 내면 1,728㎤, 7cm를 잘라 내면 1,792㎤로 모두 2,000보다 작다.
종이의 한 변을 a로 일반화해도 같은 계산으로 x = a ÷ 6이 나온다. 한 변의 6분의 1을 잘라 내면 언제나 가장 큰 상자가 된다. 포장 상자를 설계하는 사람들은 재료와 쓸모 사이의 가장 좋은 지점을 이런 식으로 찾는다. 도함수가 0인 곳이 「더 늘리면 손해가 되기 시작하는 곳」이다.