도함수의 활용

개요

미적분Ⅰ에서도 도함수로 접선을 긋고 증가·감소를 판정했다. 미적분Ⅱ가 더하는 것은 한 번 더 미분해 얻는 정보다.

$f'(x)$ 의 부호는 그래프가 오르는지 내리는지를 알려 준다. 여기에 $f''(x)$ 의 부호를 더하면 어느 쪽으로 휘어 있는지까지 알 수 있다. 오르는 그래프에도 점점 가팔라지는 것과 점점 완만해지는 것이 있는데, 이 둘을 가르는 것이 이계도함수다. 두 정보를 합치면 함수의 그래프를 거의 정확하게 그려 낼 수 있고, 최댓값·최솟값 문제와 속도·가속도 문제가 모두 여기서 풀린다.

핵심 사실

• 극값: $f'(a) = 0$ 이고 그 앞뒤로 $f'$ 의 부호가 바뀌면 $x = a$ 에서 극값을 갖는다. 양에서 음으로 바뀌면 극대, 음에서 양으로 바뀌면 극소다.
• $f'(a) = 0$ 이어도 극값이 아닐 수 있다. $y = x^3$ 은 $x = 0$ 에서 $f' = 0$ 이지만 부호가 바뀌지 않아 극값이 없다.
• 오목과 볼록: $f''(x) > 0$ 이면 아래로 볼록(∪), $f''(x) < 0$ 이면 위로 볼록(∩)이다.
• 변곡점: $f''(x) = 0$ 이고 그 앞뒤로 $f''$ 의 부호가 바뀌는 점이며, 휘는 방향이 바뀌는 자리다.
• 이계도함수로 극값 판정: $f'(a) = 0$ 일 때 $f''(a) > 0$ 이면 극소, $f''(a) < 0$ 이면 극대다. $f''(a) = 0$ 이면 이 방법으로는 알 수 없어 부호 변화를 직접 본다.
• 최댓값·최솟값: 닫힌구간에서는 극값과 양 끝점의 함숫값을 모두 비교해 가장 큰 값과 작은 값을 고른다. 극값이 곧 최댓값인 것은 아니다.
• 속도와 가속도: 위치 $x(t)$ 를 시간으로 미분하면 속도, 한 번 더 미분하면 가속도다.

$$v(t) = \frac{dx}{dt},\qquad a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$$

• 속력은 $|v(t)|$ 이며, 물체가 방향을 바꾸는 순간은 $v(t) = 0$ 이면서 부호가 바뀌는 때다.
• 평면 위의 운동: 자리가 $(x(t),\ y(t))$ 로 주어지면 성분이 둘이 된다. 성분끼리 섞이지 않으므로 각각 따로 미분하면 속도이고, 속력은 그 크기다.

$$\vec{v} = (x'(t),\ y'(t)), \qquad |\vec{v}| = \sqrt{\{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2}$$

• 직선 운동에서 절댓값을 씌우던 자리가 평면에서는 근호가 된다. 가속도도 같은 일을 한 번 더 해 $(x''(t),\ y''(t))$ 이고, 그 크기를 속력을 미분해 구하면 안 된다. (평면 운동의 속도와 속력에 단계별 유도를 적어 두었다.)
• 방정식의 실근 개수는 그래프의 개형으로 판단한다. $f(x) = k$ 의 실근 개수는 $y = f(x)$ 의 그래프와 수평선 $y = k$ 의 교점 개수이며, 극값과 $k$ 의 크기를 비교하면 답이 나온다.

$f$ 와 $f'$ 과 $f''$ 을 세로로 쌓아 놓고 $x$ 를 끌어 보면 부호표가 왜 그렇게 생겼는지가 그림 하나로 정리된다. $f'$ 의 점이 $0$ 선을 뚫고 지나는 순간 위층의 $f$ 가 방향을 바꾸고, 닿기만 하고 되돌아가는 $y = x^3$ 의 $x = 0$ 에서는 아무 일도 일어나지 않는다. $f''$ 의 부호가 뒤집히는 자리에서 곡선이 휘는 방향을 바꾸는 것도 같은 화면에서 확인해 보자.

극대, x³ − 3x 의 x = −1변곡점, 휘는 방향이 바뀐다극소가 둘, x⁴ − 2x²반례, f′(0)=0 인데 극값 아님

삼차 · 극대와 극소사차 · 극소가 둘반례 · f′(0)=0 인데 극값 아님지수 · f′ 이 f 와 같다로그 · f′ 이 1/x사인 · f′ 이 cos합성 · sin 2x 의 속미분운동 · 위치와 속도와 가속도

x 왼쪽부터 훑어보기

x = −1 · 극대x = 0 · 변곡점x = 1 · 극소

x = −1: f′ = 0, f″ = −6 · 극대

x −1 · f 2 · f′ 0 · f″ −6

x	⋯	−1	⋯	0	⋯	1	⋯
f′	+	0	−	−	−	0	+
f″	−	−	−	0	+	+	+
개형	↗∩	극대	↘∩	변곡점	↘∪	극소	↗∪

f′ 의 점이 0 선을 뚫고 지나는 순간 위층의 f 가 방향을 바꾼다. 닿기만 하고 되돌아가면 (x³ 의 x = 0) 극값이 아니다. f″ 의 부호가 뒤집히는 자리는 휘는 방향이 바뀌는 변곡점이다.

f(x) = x³ − 3x 에서 x = −1 입니다. f 는 2, f′ 은 0, f″ 은 −6 입니다. 이 자리는 극대 입니다.