생활·측정 수1
마트의 캔 피라미드에는 캔이 몇 개 들었을까 · 시그마와 제곱의 합
10층짜리 정사각뿔 탑에는 1² + 2² + … + 10² = 385개가 든다
- 385개 10층 정사각뿔 탑의 캔
- n(n+1)(2n+1)/6 1²부터 n²까지의 합
- 13층 캔 1,000개로 쌓을 수 있는 높이
마트 진열대에 캔을 정사각뿔 모양으로 쌓았다. 맨 위층에 1개, 그 아래층에 2 × 2 = 4개, 그 아래에 3 × 3 = 9개, 이렇게 맨 아래 10층에는 10 × 10 = 100개가 놓인다. 모두 몇 개일까. 한 층씩 더하면 1 + 4 + 9 + … + 100이다.
층마다 제곱으로 늘면, 합은 세제곱으로 자란다.
이 합을 시그마로 쓰면 Σk² (k = 1부터 10까지)이고, 자연수의 제곱의 합 공식 n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6에 n = 10을 넣으면 10 × 11 × 21 ÷ 6 = 385개다. 한 층씩 더하지 않아도 층수만 알면 바로 나온다. 20층이라면 20 × 21 × 41 ÷ 6 = 2,870개다.
층마다 한 줄로 늘어놓는 삼각형 탑이라면 계산이 다르다. 맨 위 1개, 그 아래 2개, … 맨 아래 10개라면 Σk = 10 × 11 ÷ 2 = 55개다. 정사각뿔은 층마다 제곱으로 늘어서 합이 세제곱 꼴로 커지고, 한 줄 탑은 층마다 하나씩 늘어서 합이 제곱 꼴로 커진다. 10층을 20층으로 두 배 높이면 한 줄 탑은 약 4배(55 → 210), 정사각뿔은 약 7.5배(385 → 2,870)가 된다.
과일 가게의 오렌지 더미, 포탄을 쌓아 두던 옛 성의 탄약고도 같은 계산을 썼다. 거꾸로 캔이 1,000개 있을 때 몇 층까지 쌓을 수 있는지도 공식으로 어림한다. 13층이면 819개, 14층이면 1,015개가 필요하니 13층까지 쌓고 181개가 남는다.