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수열의 합과 시그마

시그마 기호로 어떤 수열의 합도 정확히 표기하고, 자연수 거듭제곱의 합 공식과 부분분수 소거로 그 값을 계산할 수 있게 한다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

\sum k

\sum k^{2}

공식 대입은 짧다. 배점은 시그마 안이 곱 꼴일 때 먼저 전개하는가와 **시작이

k = 1

이 아닐 때 항수를 맞추는가다. 공식 암기를 줄이고 시그마 안을 정리한 뒤 쪼개는 순서**를 표준으로 삼는다.

여기서 무너집니다

\sum a_{k} b_{k}

를

(\sum a_{k}) (\sum b_{k})

로 쪼갠다. 덧셈에서 되던 것을 곱셈으로 옮긴 것이다. **

n = 2

로 줄여 손으로 확인시킨다**. 두 항만 써 놓고 양쪽을 계산하면 값이 다른 것이 바로 보인다. 작은 수로 무너뜨리는 것이 설명보다 빠르다.

확인 질문

$\sum_{k = 1}^{n} k (k + 1)$ 을 계산하려면 먼저 무엇을 해야 합니까?

" $k^{2} + k$ 로 전개한 뒤 두 공식으로 나눈다"가 나오면 통과. $\sum k \times \sum (k + 1)$ 로 가면 곱을 쪼갠 것이니, 작은 $n$ 으로 반례를 만들어 그 자리에서 고친다.

개요

05에서 등차수열과 등비수열의 합 공식을 유도까지 익혔다. 그런데 실제 문제에는 이보다 훨씬 다양한 합이 나온다. 예를 들어 $1^2+2^2+\cdots+10^2$ 처럼 각 항에 규칙은 있지만 등차도 등비도 아닌 합, 또는 $\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\cdots$ 처럼 분수가 줄줄이 늘어선 합이다. 이런 합을 매번 $\cdots$ 으로 늘어놓지 않고 기호 하나로 정확하게 적는 방법이 **시그마( $\sum$ )**다.

이 소단원에서는 시그마 기호를 읽고 쓰는 법, 시그마가 가진 성질(무엇이 분리되고 무엇이 분리되지 않는지), 그리고 $1, 2, \dots, n$ 의 거듭제곱을 더한 값을 즉시 구해 주는 세 공식 $\sum k$ , $\sum k^2$ , $\sum k^3$ 을 익힌다. 마지막으로 분수의 합을 부분분수로 쪼개 항을 통째로 지워 버리는 소거(망원급수) 기법까지 다룬다. 다음 소단원(수학적 귀납법)에서 이 공식들을 엄밀하게 증명하는 법을 배우니, 여기서는 공식을 정확히 쓰고 적용하는 데 집중한다.

핵심 사실

정의

시그마 기호의 뜻: $\sum_{k=1}^{n} a_k$ 는 ” $k$ 에 $1$ 부터 $n$ 까지 차례로 대입해 $a_k$ 를 전부 더하라”는 명령을 줄인 기호다.

\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n

$k$ 는 그저 대입해 나갈 자리를 가리키는 이름일 뿐이라 $i$ , $m$ 등 다른 문자로 바꿔도 같은 값이다.

분리되는 것과 안 되는 것: 합과 상수배는 시그마 밖으로 분리할 수 있지만, 곱은 분리되지 않는다.

\sum_{k=1}^n (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k, \qquad \sum_{k=1}^n c\,a_k = c\sum_{k=1}^n a_k

그러나 $\sum_{k=1}^n a_k b_k \neq \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\!\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)$ 다. 곱해진 항은 먼저 전개해서 각 항의 합으로 바꾼 다음에야 시그마를 쪼갤 수 있다.

상수의 합: $\sum_{k=1}^n c$ 는 $c$ 를 $n$ 번 더한 것이므로 $\sum_{k=1}^n c = nc$ 다. 상수라고 해서 그대로 $c$ 가 되는 것이 아니다.
자연수 거듭제곱의 합 공식: 이 세 개만 있으면 대부분의 합 문제는 대입으로 끝난다.

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \qquad \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}

첫 번째 공식은 사실 새로운 것이 아니다. $1+2+\cdots+n$ 은 첫째항 $1$ , 공차 $1$ 인 등차수열의 합이므로 05에서 배운 $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ 에 그대로 대입한 것과 같다. 눈여겨볼 점은 $\sum k^3$ 이 $\left(\sum k\right)^2$ 과 같다는 것이다. 세제곱을 모두 더한 값이 $1$ 부터 $n$ 까지 더한 값을 제곱한 것과 정확히 일치한다. 세 공식 가운데 이렇게 서로 맞물리는 것은 이 하나뿐이니 따로 기억해 두면 편하다.

시작이 $k=1$ 이 아닐 때는 항수를 다시 세야 한다. $\sum_{k=3}^{10} k^2$ 은 $8$ 개 항이지 $10$ 개가 아니다. $\sum_{k=1}^{10}k^2$ 에서 앞에 빠진 $\sum_{k=1}^{2}k^2$ 을 빼서 구한다.
부분분수로 쪼개면 항이 사라진다(망원급수). 일반항을 $b_k - b_{k+1}$ 꼴로 바꾸면, 풀어 나열했을 때 이웃한 항끼리 부호만 반대로 겹쳐 가운데가 모두 소거되고 맨 앞과 맨 뒤만 남는다.

아래에서 $\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}$ 을 부분분수로 쪼개는 과정을 한 단계씩 눌러 보세요. 세 번째 단계에서 가운데 항들이 통째로 사라지는 장면이 이 기법의 전부입니다. 조각이 띠를 덮는 그림과 함께 보려면 부분분수로 쪼개는 합 편으로 갑니다.

\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}

분모가 연속한 두 자연수의 곱이면 이렇게 두 분수의 차로 쪼갤 수 있다. 오른쪽을 통분해 보면 분자가 1 로 돌아온다. 소거는 이 모양에서 시작된다.

1 / 4 단계

합이 주어지면 항을 되찾을 수 있다. 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합 $S_n$ 을 알려 주고 일반항을 묻는 문제가 자주 나온다. 한 칸 앞의 합을 빼면 마지막에 올린 항 하나만 남는다.

a_n = S_n - S_{n-1} \;(n \ge 2), \qquad a_1 = S_1

$n = 1$ 은 뺄 상대가 없으므로 따로 읽어야 한다. 구한 식에 $n = 1$ 을 넣은 값이 $S_1$ 과 같으면 한 줄로 묶어 쓰고, 다르면 갈라 적는다. 단계별 유도는 합에서 일반항 찾기 편에 있다.

완료로 두면 대수 지수·로그와 수열 목차에 표시됩니다.