음료 캔은 왜 그 비율인가 · 알루미늄을 가장 적게 쓰는 모양
알루미늄을 가장 적게 쓰는 캔은 높이가 지름과 같다
- h = 2r 겉넓이가 최소인 원기둥
- r ≈ 3.41cm 250mL에서의 최적 반지름
- 6% 실제 캔이 더 쓰는 재료
음료 캔을 만드는 회사에게 알루미늄은 원가다. 같은 250mL를 담으면서 표면적을 최소로 만드는 모양을 찾으면 재료비가 줄어든다. 이 문제는 미분의 최대·최소가 실제 돈으로 번역되는 가장 깔끔한 예다.
최적해는 답이 아니라 기준선이다. 실제 캔이 그 답에서 벗어난 만큼이, 계산에 넣지 않은 조건의 크기다.
반지름 r, 높이 h인 원기둥의 부피는 V = πr²h, 겉넓이는 S = 2πr² + 2πrh다. 부피가 250㎤로 고정이므로 h = V ÷ (πr²)를 겉넓이에 대입하면 변수가 r 하나로 줄어든다. S(r) = 2πr² + 2V ÷ r. 이제 미분해서 S′(r) = 4πr − 2V ÷ r² = 0을 풀면 r³ = V ÷ (2π)다. V = 250을 넣으면 r ≈ 3.41cm, 이때 h = 250 ÷ (π × 3.41²) ≈ 6.83cm다.
두 값을 나란히 보면 h ≈ 2r, 높이가 지름과 같다. 사실 이것은 V와 무관하게 늘 성립한다. r³ = V ÷ (2π)를 h = V ÷ (πr²)에 대입하면 h = 2r이 그대로 나온다. 부피가 얼마든, 옆에서 본 단면이 정사각형인 원기둥이 재료를 가장 적게 쓴다.
그런데 우리가 쥐는 캔은 그 모양이 아니다. 250mL 캔은 지름 5.3cm에 높이 11.3cm쯤으로 훨씬 홀쭉하고, 겉넓이는 최적값 약 220㎠보다 6% 가까이 크다. 계산이 틀린 것이 아니라 계산에 넣지 않은 조건이 있다. 캔의 뚜껑은 따는 구조 때문에 옆면보다 두꺼워 실제 비용은 넓이에 비례하지 않고, 손으로 쥐기 좋은 굵기와 자판기·진열대의 규격도 정해져 있다. 수학이 준 h = 2r은 "다른 조건이 없다면"의 답이고, 현실의 캔은 그 답에서 어떤 조건 때문에 얼마나 벗어났는지를 읽는 기준선이 된다.