최대·최소와 속도·가속도

개요

05에서 도함수의 부호로 극댓값과 극솟값을 구했다. 그런데 극값은 “그 근처에서만” 가장 크거나 작은 값이다. 실제 문제가 자주 묻는 것은 정해진 구간 전체에서 가장 큰 값과 가장 작은 값, 곧 최댓값과 최솟값이다. 이 둘을 구하려면 극값뿐 아니라 구간의 양 끝에서 함숫값도 함께 봐야 한다.

최댓값·최솟값을 구할 수 있게 되면 그래프를 이용해 방정식의 실근 개수를 세거나 부등식을 증명하는 데도 쓸 수 있다. 그래프와 직선의 교점 개수를 세는 것, 어떤 값이 항상 다른 값 이상이라는 것을 보이는 것, 둘 다 최댓값·최솟값을 아는 데서 출발한다.

마지막으로 미분을 원래 자리, 곧 순간변화율로 돌아가 본다. 시각에 따라 움직이는 점의 위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도가 나온다. 부호를 가진 값들이라 방향까지 담고 있다는 점이 핵심이다.

핵심 사실

• 방정식 $f(x)=k$ 의 실근의 개수: $y=f(x)$ 의 그래프와 수평선 $y=k$ 의 교점의 개수와 같다. 극댓값 $M$, 극솟값 $m$ ($M>m$) 을 기준으로 $k$ 의 위치를 나누면 교점 개수, 곧 실근의 개수가 정해진다.
• 부등식 증명에 최솟값을 쓴다: 어떤 구간에서 $f(x) \ge 0$ 임을 보이고 싶다면, 그 구간에서 $f(x)$ 의 최솟값이 $0$ 이상임을 보이면 충분하다. 가장 작은 값도 $0$ 이상이면 나머지는 저절로 그 이상이기 때문이다.
• 속도와 가속도: 수직선 위를 움직이는 점의 위치가 시각 $t$ 의 함수 $x(t)$ 로 주어질 때, 위치를 미분하면 속도, 속도를 다시 미분하면 가속도가 나온다.

$$v(t) = x'(t), \qquad a(t) = v'(t)$$

가속도는 위치를 두 번 미분해야 나오는 양이다. 속도를 거치지 않고 $x(t)$ 를 한 번만 미분해서는 얻을 수 없다.

• 속도의 부호와 속력: $v(t) > 0$ 이면 양의 방향, $v(t) < 0$ 이면 음의 방향으로 움직인다는 뜻이다. $v(t) = 0$ 은 방향이 바뀔 수 있는 자리이고, 부호가 실제로 앞뒤에서 바뀌는지 확인해야 진짜 방향 전환이다. 속도의 절댓값 $|v(t)|$ 는 방향을 버리고 빠르기만 남긴 속력이다.