이동·교통 수2
커브길에서 미끄러진 차는 어디로 갈까 · 접선의 방정식
미끄러지는 순간 차는 길의 접선 방향으로 곧게 나아간다
- y′ = 1 x = 50에서 길의 기울기
- y = x − 25 미끄러진 차가 가는 직선
- 4m 20m 더 갔을 때 길과 벌어진 거리
커브길에서 바퀴가 미끄러지면 차는 길을 따라 돌지 못하고 그 순간 달리던 방향으로 곧게 나아간다. 그 방향이 곡선의 접선이다. 길의 모양을 함수로 나타내면, 어느 지점에서 미끄러졌을 때 차가 향하는 직선을 미분으로 구할 수 있다.
붙잡는 힘을 잃은 것은 그 순간의 접선을 따라 곧게 간다.
위에서 내려다본 길을 y = x² ÷ 100(단위 m)이라 하자. x = 50인 지점에서 미끄러졌다면 그때 위치는 (50, 25)다. 접선의 기울기는 도함수 y′ = x ÷ 50에 x = 50을 넣은 1이다. 그래서 접선의 방정식은 y − 25 = 1 × (x − 50), 곧 y = x − 25이다. 차는 이 직선을 따라 나간다.
길이 계속 휘는 동안 접선은 길의 바깥쪽으로 벗어난다. x = 70인 곳에서 길은 y = 49인데 접선은 y = 45다. 20m만 더 가도 길과 차 사이가 4m 벌어진다. 길이 많이 휘는 곳일수록 접선과 길이 빨리 멀어지니, 같은 속도로도 미끄러졌을 때의 위험이 크다. 급커브 바깥쪽에 가드레일을 두는 이유다.
해머던지기 선수가 손을 놓는 순간 해머가 원의 접선 방향으로 날아가는 것, 비 오는 날 돌던 우산에서 빗방울이 튀어 나가는 방향도 같다. 곡선 위에서 움직이던 것이 붙잡는 힘을 잃으면, 그 순간의 접선을 따라 곧게 간다. 미분계수는 그 직선의 기울기를 알려 준다.