접선의 방정식

개요

02에서 우리는 미분계수 $f'(a)$ 가 곡선 위 한 점 $(a, f(a))$ 에서의 순간 기울기임을 확인했다. 그런데 직선을 하나 정하려면 무엇이 필요했던가. 기울기 하나와 지나는 점 하나면 충분했다. 이제 곡선 위의 한 점에서 기울기($f'(a)$)와 점($(a, f(a))$)을 모두 손에 쥐었으니, 그 점에서 곡선에 딱 붙는 직선, 곧 접선의 방정식을 바로 세울 수 있다.

문제는 접점이 늘 친절하게 주어지지는 않는다는 것이다. 기울기만 알려 주고 접점을 찾아오라고 하거나, 곡선 위에 있지도 않은 점에서 접선을 그으라고 하기도 한다. 두 경우 모두 결국은 접점부터 알아내는 문제로 바뀌며, 접점만 손에 넣으면 위의 공식이 그대로 작동한다. 아래에서 기본형 하나와 이 두 변형을 차례로 다룬다.

핵심 사실

• 접선의 방정식(점-기울기 꼴): 한 점 $(a, f(a))$ 와 기울기 $f'(a)$ 를 알 때, 접선은 다음과 같다.

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

• 예시: $f(x) = x^2$ 에서 $x = 1$ 일 때를 보자. $f'(x) = 2x$ 이므로 $f'(1) = 2$ 이고, 접점은 $(1, 1)$ 이다. 접선은 $y - 1 = 2(x - 1)$, 정리하면 다음과 같다.

$$y = 2x - 1$$

아래에서 곡선 위의 점을 직접 미끄러뜨려 보세요. 점이 움직이면 접선이 따라 기울고, 그 기울기가 곧 그 자리의 $f'(a)$ 입니다. 프리셋의 삼차함수로 바꿔 접선이 수평이 되는 자리를 찾으면, 바로 아래에서 이야기할 ”$f'(x)=0$ 인 점”을 눈으로 먼저 만나게 됩니다.

포물선 y = x²삼차함수의 극값

접선 · 기울기가 f′(a)평균값 정리 · 할선과 나란한 접선도함수의 정의 · h 를 줄인다역함수 · 기울기의 곱이 1

f(x) = x² f′(x) = 2x

접점 (1.00, 1.00) · 기울기 f′(1.00) = 2.00
접선: y = 2.00x − 1.00

a 1.00 · f(a) 1.00 · 기울기 2.00

접점의 x = a

f(x) = x² 위의 점 x = 1.00 에서 접선의 기울기는 2.00 입니다.

• 기울기가 $0$ 인 점: 접선의 기울기가 $0$ 이 되는 점, 곧 $f'(x) = 0$ 을 만족하는 $x$ 는 그래프가 잠시 수평이 되는 지점이다. unit4 에서 본 포물선의 꼭짓점이 바로 이런 지점으로, 그곳에서 접선은 $x$ 축과 나란한 수평선이 된다.

• 기울기가 주어질 때, 접점을 거꾸로 찾는다: 접점 대신 기울기 $m$ 이 먼저 주어지면 순서를 뒤집는다. 접선의 기울기가 곧 $f'(a)$ 이므로, $f'(a) = m$ 을 $a$ 에 대한 방정식으로 보고 풀면 접점의 $x$ 좌표가 나온다. 그다음 $f(a)$ 로 $y$ 좌표를 채우면 점과 기울기가 모두 갖춰져 앞의 공식을 그대로 쓸 수 있다.

$$f'(a) = m \;\Longrightarrow\; a \;\Longrightarrow\; (a,\ f(a)) \;\Longrightarrow\; y - f(a) = m(x - a)$$

예를 들어 $f(x) = x^2 - 4x + 1$ 에서 기울기가 $2$ 인 접선을 찾아보자. $f'(x) = 2x - 4$ 이므로 $2x - 4 = 2$ 에서 $a = 3$ 이고, 접점의 $y$ 좌표는 $f(3) = 9 - 12 + 1 = -2$ 다. 접선은 $y - (-2) = 2(x - 3)$, 곧 $y = 2x - 8$ 이다. 접점의 $y$ 좌표는 도함수가 아니라 원래 함수에 대입해 구해야 한다는 점만 지키면 된다.

• 곡선 밖의 점에서 그을 때, 접점을 $(t, f(t))$ 로 둔다: 주어진 점이 곡선 위에 없으면 그 점은 접점이 아니다. 그러면 접점을 아직 모르는 문자로 두는 수밖에 없다. 접점을 $(t, f(t))$ 라 하면 접선은 다음과 같다.

$$y - f(t) = f'(t)(x - t)$$

여기에 “이 직선이 주어진 점을 지난다”는 조건을 대입하면 $t$ 에 대한 방정식이 만들어진다. 그 방정식을 풀어 $t$ 를 구하면 접점이 정해지고, 접선도 따라 정해진다.

$y = x^2$ 밖의 점 $(2, 3)$ 에서 그은 접선을 예로 들자. 접점을 $(t, t^2)$ 로 두면 $f'(t) = 2t$ 이므로 접선은 $y - t^2 = 2t(x - t)$, 곧 $y = 2tx - t^2$ 이다. 여기에 $x = 2,\ y = 3$ 을 넣으면

$$3 = 4t - t^2 \;\Longrightarrow\; t^2 - 4t + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; (t-1)(t-3) = 0$$

이므로 $t = 1$ 또는 $t = 3$ 이다. 접점이 둘이므로 접선도 두 개($y = 2x - 1$ 과 $y = 6x - 9$)다. 곡선 밖의 한 점에서는 접선이 여러 개 나올 수 있다는 것이 이 유형의 핵심이며, $t$ 에 대한 방정식의 해를 하나만 구하고 멈추면 답을 절반 잃는다.