금융 수1
돈이 두 배가 되는 데 몇 년 걸릴까 · 로그로 푸는 지수방정식
연 5% 복리라면 14.2년. 72를 이율로 나눈 14.4년과 거의 같다
- 14.2년 연 5% 복리로 두 배가 되는 시간
- 72 ÷ 5 = 14.4 72의 법칙으로 어림한 값
- 3.6년 연 20% 빚이 두 배가 되는 시간
1,000만 원을 연 5% 복리로 맡기면 n년 뒤에는 1000 × 1.05ⁿ만 원이 된다. 이 돈이 두 배인 2,000만 원이 되는 것은 몇 년 뒤일까. 1.05ⁿ = 2를 풀면 된다. 미지수가 지수에 있는 지수방정식이다.
로그는 몇 번 곱해야 하는지를 나눗셈 한 번으로 바꿔 준다.
양변에 상용로그를 취하면 n × log 1.05 = log 2, 그래서 n = log 2 ÷ log 1.05 ≈ 0.3010 ÷ 0.0212 ≈ 14.2이다. 15년째에 처음으로 두 배를 넘는다. 로그는 「몇 번 곱해야 하는가」를 「나눗셈 한 번」으로 바꿔 준다. 처음 맡긴 돈의 크기와 상관없이 답은 같다. 1,000만 원이든 100만 원이든 두 배가 되는 데 걸리는 시간은 이율만이 정한다.
은행원들이 쓰는 어림셈이 있다. 72를 이율로 나누면 두 배가 되는 햇수가 나온다는 「72의 법칙」이다. 5%면 72 ÷ 5 = 14.4년, 8%면 9년이다. 로그로 정확히 계산한 14.2년, 9.0년과 거의 같다. 이율이 작을 때 log(1 + r)가 r에 비례한다는 사실을 이용한 어림이다.
대출에도 같은 계산이 거꾸로 적용된다. 연 20% 이자의 빚을 갚지 않고 두면 72 ÷ 20 = 3.6년, 곧 4년이 안 되어 빚이 두 배가 된다. 신용카드의 높은 연체 이자가 무서운 이유다. 이율이 두 배가 되면 두 배가 되는 시간은 절반으로 줄어든다.