지수·로그 방정식과 부등식

개요

03에서 지수함수 $y=a^x$ 와 로그함수 $y=\log_a x$ 가 밑 $a$ 에 따라 증가하거나 감소한다는 것, 그리고 두 함수가 서로 역함수 관계라는 것을 확인했다. 이 성질은 이제 방정식과 부등식을 푸는 도구가 된다. 지수방정식은 밑을 같게 맞추면 지수끼리 비교하는 문제로 바뀌고, 때로는 $a^x$ 를 문자 $t$ 로 치환해 이차방정식으로 바꿔 푼다. 로그방정식은 로그를 지우는 순간 진수·밑 조건을 잃어버리기 쉬운 것이 관건이고, 부등식에서는 밑이 $0<a<1$ 이면 함수가 감소한다는 사실이 부등호 방향을 뒤집는 것으로 이어진다.

이번 소단원은 계산 자체보다 조건을 놓치는 지점에 초점을 맞춘다. 지수·로그 방정식·부등식은 풀이 과정은 단순한데, 마지막에 조건 확인을 빠뜨려 틀리는 문제가 시험에 압도적으로 많기 때문이다.

핵심 사실

밑이 다르게 주어져도 소인수분해 등으로 같은 밑으로 고칠 수 있으면 이 형태로 바꿔 푼다.

• 치환형 지수방정식: $a^{2x}, a^x$ 이 함께 나오면 $t=a^x$ 로 치환해 다항방정식으로 바꾼다. 이때 $t>0$ 이라는 범위를 반드시 같이 적어 둔다. 치환한 이차방정식의 해 중 $t\le 0$ 인 것은 원래의 지수식으로 되돌릴 수 없으므로 버린다.
• 로그방정식(조건이 먼저다): 로그를 지우기 전에 진수 조건(진수 $>0$)과, 밑에 미지수가 있다면 밑 조건($\text{밑}>0,\ \text{밑}\neq 1$)을 먼저 적어 둔다. 로그를 지우고 나면 이 조건은 식에서 사라져 보이지만, 방정식을 풀어 나온 해가 이 조건을 만족하는지는 끝에 반드시 대조해야 한다.

$$\log_a x = \log_a y \iff x=y \qquad (a>0,\ a\neq 1,\ x>0,\ y>0)$$

• 지수부등식: 밑을 같게 맞춘 뒤, $a>1$ 이면 부등호 방향을 그대로 두고 지수를 비교하고, $0<a<1$ 이면 부등호 방향을 뒤집어 지수를 비교한다. 밑이 감소함수를 만들기 때문이다.
• 로그부등식: 마찬가지로 진수 조건부터 확인한 뒤, $a>1$ 이면 부등호를 그대로 두고 진수를 비교하고, $0<a<1$ 이면 부등호를 뒤집어 진수를 비교한다. 최종 답은 이렇게 구한 범위와 진수 조건(정의역)의 교집합이다.

부등호가 뒤집힌다는 말은 외울 규칙이 아니라 그래프가 감소로 바뀌기 때문입니다. 아래에서 $x_1 < x_2$ 를 고정해 두고 밑 $a$ 를 $1$ 아래로 내려 보세요. 지수부등식과 로그부등식의 부등호가 동시에 뒤집힙니다. 두 함수가 역함수라 같은 순간에 같은 일이 일어납니다. 시험 포인트가 “부등식을 풀기 전에 밑이 $1$ 보다 큰지부터 확인하라”고 말하는 이유가 이 화면입니다.

밑이 1 보다 크면 (a = 2)밑이 1 보다 작으면 (a = 0.5)밑이 1 이면 비교가 안 된다

지수의 확장역함수 (y = x 대칭)대소 비교 · 부등호도함수 · ln a기본 극한 · e 에서만 1

밑 a = 2 x₁ = 1 x₂ = 3

x₁ = 1 < x₂ = 3

지수   2^x₁ = 2  <  2^x₂ = 8

로그   log₂x₁ = 0  <  log₂x₂ = 1.585

밑이 1 보다 크므로 부등호가 그대로다. 지수도 로그도 같은 방향이다.

밑 2 · 지수 2 8 · 로그 0 1.585

밑은 2 이고 증가함수입니다. 1 은 3 보다 작습니다. 그런데 2의 1제곱은 2, 3제곱은 8 이므로 부등호가 그대로입니다.