약이 몸에 얼마나 작용했는지 재는 넓이 · 부분적분
혈중 농도 곡선 C = 10te^(−0.5t) 아래 넓이는 부분적분으로 40이다
- 2시간 농도가 가장 높은 때
- 7.36mg/L 최고 농도
- 40mg·h/L 곡선 아래 넓이(AUC)
약을 먹으면 혈액 속 약 농도가 처음에는 오르다가 몸이 약을 처리하면서 내려간다. 약효를 비교할 때 의사와 약사는 이 농도 곡선 아래의 넓이(AUC)를 본다. 넓이가 크면 몸이 그 약에 더 많이 노출된 것이다. 여기서는 농도를 C(t) = 10t × e^(−0.5t)(mg/L, t는 시간)로 어림해 보자(설명을 위한 가상의 식이다).
약효의 크기는 곡선의 높이 하나가 아니라 곡선 아래 넓이로 잰다.
농도는 t = 2시간에 가장 높아 약 7.36mg/L가 되고, 그 뒤로 서서히 줄어든다. 곡선 아래 넓이는 ∫ 10t e^(−0.5t) dt를 0부터 끝없이 계산한 값이다. t와 e^(−0.5t)의 곱이라 바로 적분할 수 없으니 부분적분을 쓴다. ∫ f g′ dt = f g − ∫ f′ g dt에서 f = t, g′ = e^(−0.5t)로 둔다.
g = −2e^(−0.5t)이므로 ∫ t e^(−0.5t) dt = −2t e^(−0.5t) + 2∫ e^(−0.5t) dt = −2t e^(−0.5t) − 4e^(−0.5t)이다. t가 끝없이 커지면 두 항이 모두 0으로 가고, t = 0에서는 −4이니 넓이는 0 − (−4) = 4, 여기에 10을 곱해 40mg·h/L다.
같은 약을 다른 회사가 만든 복제약은 이 넓이와 최고 농도가 원래 약과 충분히 가까워야 허가를 받는다. 모양이 조금 달라도 몸이 받는 약의 총량이 같은지를 넓이 하나로 비교하는 것이다. 곱의 꼴로 된 함수를 적분하는 부분적분이 이 넓이를 계산하는 도구가 된다.