자연·몸 중3
10m 다이빙대는 5m보다 두 배 오래 떨어질까 · 제곱근
높이가 두 배면 떨어지는 시간은 √2배, 약 1.4배다
- t = √(h ÷ 4.9) 떨어지는 시간(초)
- 1.01 → 1.43초 5m와 10m
- √2배 높이가 두 배일 때 시간
다이빙 경기에는 5m와 10m 높이의 다이빙대가 있다. 10m에서 뛰면 5m에서보다 두 배 오래 떨어질 것 같다. 그런데 계산해 보면 그렇지 않다. 공기 저항을 무시하면 정지 상태에서 떨어진 물체가 t초 동안 내려가는 거리는 h = 4.9t²(m)이다.
높이를 두 배로 하면 시간은 √2배. 두 배로 늘리려면 높이를 네 배로 해야 한다.
이 식을 t에 대해 풀면 t² = h ÷ 4.9, 곧 t = √(h ÷ 4.9)이다. 시간이 음수일 수는 없으니 양의 제곱근만 쓴다. 5m라면 √(5 ÷ 4.9) ≈ 1.01초, 10m라면 √(10 ÷ 4.9) ≈ 1.43초다. 높이는 두 배인데 시간은 1.4배 남짓이다. 20m라면 약 2.02초로, 5m의 딱 두 배가 된다. 시간을 두 배로 늘리려면 높이를 네 배로 해야 한다.
이유는 근호 안에 있다. 높이가 k배가 되면 시간은 √k배가 된다. 10 ÷ 5 = 2이므로 시간은 √2 ≈ 1.414배다. 떨어질수록 점점 빨라지기 때문에, 나중의 5m는 처음의 5m보다 훨씬 짧은 시간에 지나간다. 10m 다이빙에서 앞의 5m에 약 1.01초가 걸리고, 뒤의 5m에는 0.42초밖에 안 걸린다.
선수에게 이 차이는 크다. 공중에서 돌고 비트는 동작을 할 수 있는 시간이 높이에 비례해서 늘지 않기 때문이다. 높이를 두 배로 해도 동작 시간은 0.4초쯤 늘 뿐이다. 반대로 같은 이유로 높은 곳에서 떨어질 때 물에 닿는 속도는 훨씬 빨라진다. 제곱근은 「두 배가 두 배가 아닌」 관계를 정확히 계산하게 해 준다.