제곱근과 실수

개요

$x^2 = 2$ 를 만족하는 수는 얼마일까? 어떤 분수를 제곱해도 정확히 $2$ 가 되지 않는다. 이 곤란함을 해결하려고 도입하는 것이 제곱근이고, $\sqrt{2}$ 처럼 분수로 나타낼 수 없는 수를 무리수라 부른다. 유리수에 무리수를 더하면 수직선을 빈틈없이 메우는 실수가 된다. 제곱근은 곧이어 배울 근의 공식에서 곧바로 등장하고, 중2 에서 배운 피타고라스 정리로 빗변을 구할 때도 그대로 쓰인다.

핵심 사실

• 근호 $\sqrt{\ }$: $\sqrt{a}$ 는 $a$ 의 제곱근 중 음이 아닌 쪽만 가리킨다. 그래서 $\sqrt{9}=3$ 이다(“9의 제곱근”과 "$\sqrt{9}$"를 혼동하지 않기).
• 무리수: 분수 $\dfrac{b}{a}$ 꼴로 나타낼 수 없는 수. 소수로 쓰면 순환하지 않는 무한소수다. $\sqrt{2}=1.414\ldots$, $\pi=3.141\ldots$
• 실수: 유리수와 무리수를 합친 수. 수직선 위의 모든 점이 실수 하나에 대응한다.
• 대소 비교: $a>0,\ b>0$ 일 때 $a<b$ 이면 $\sqrt{a}<\sqrt{b}$. 근호 밖 수는 제곱해 안으로 넣어 비교한다($2=\sqrt{4}$ 이므로 $2>\sqrt{3}$).

비교표

수	분수로?	소수 표현	분류
$\dfrac{3}{5}$	가능	$0.6$ (유한)	유리수
$\sqrt{4}$	가능	$2$	유리수
$\sqrt{2}$	불가능	$1.414\ldots$ (순환 안 함)	무리수

시험 포인트

• ”$a$ 의 제곱근”은 $\pm\sqrt{a}$ 두 개, "$\sqrt{a}$"는 하나. 가장 잦은 함정이다.
• $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$ 처럼 근호 안이 제곱수면 무리수가 아니다. 근호가 씌워졌다고 다 무리수는 아니다.