관람차에 탄 내 높이는 사인 곡선을 그린다 · 삼각함수의 그래프

반지름 20m인 관람차가 15분에 한 바퀴를 돈다. 중심은 땅에서 22m 높이에 있고, 맨 아래 칸에서 타면 그때 높이는 2m다. 시간이 지나며 내 높이는 어떻게 변할까. 중심에서 본 내 위치가 원 위를 일정한 빠르기로 도니, 높이는 각도의 코사인으로 쓸 수 있다.

원을 도는 것을 옆에서 보면 오르내림이 된다. 그 오르내림이 삼각함수다.

출발한 지 t분 뒤 관람차가 돈 각은 2π × t ÷ 15라디안이다. 맨 아래에서 출발했으므로 높이는 h(t) = 22 − 20 cos(2πt ÷ 15)이다. t = 0이면 2m, 한 바퀴의 절반인 7.5분이면 22 + 20 = 42m로 꼭대기다. 5분이 지났을 때는 각이 120°이고 cos 120° = −1/2이니 h = 22 + 10 = 32m다.

이 그래프는 y = cos x를 위아래로 뒤집고 20배로 늘린 뒤 22만큼 올리고, 가로로 늘려 주기를 15로 만든 것이다. 진폭 20은 반지름, 22는 중심의 높이, 주기 15는 한 바퀴 시간이다. 그래프의 숫자 하나하나가 관람차의 실제 크기를 말한다.

그래프를 보면 꼭대기와 바닥 근처에서는 높이가 천천히 변하고, 중간 높이를 지날 때 가장 빨리 오르내린다. 탔을 때 꼭대기에서 한참 머무는 느낌이 드는 이유다. 바닷물의 밀물과 썰물, 하루의 낮 길이처럼 되풀이되는 현상을 삼각함수로 나타내는 것도 같은 생각이다.

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