삼각함수의 정의와 그래프

개요

01에서 배운 삼각비는 직각삼각형 안에서만 뜻이 통했다. 직각삼각형의 한 예각을 기준으로 정의했으니, $0$ 과 $\dfrac{\pi}{2}$($0°$ 와 $90°$) 사이의 각에서만 쓸 수 있었던 셈이다. 그런데 반지름이 $1$ 인 단위원을 쓰면 이야기가 달라진다. 각을 회전으로 보면 $0$ 을 넘어 $2\pi$($360°$)를 지나 어떤 각으로도 삼각비의 정의를 넓힐 수 있다. 이렇게 모든 각으로 확장한 것이 삼각함수다. 02에서 정한 대로 각은 라디안으로 적고, 헷갈리기 쉬운 자리에는 도(°)를 괄호에 함께 적는다.

핵심 사실

아래 단위원에서 점을 직접 끌어 보세요. 점의 $x$ 좌표가 $\cos\theta$, $y$ 좌표가 $\sin\theta$ 입니다. 두 값은 새로 외울 대상이 아니라 원 위 한 점의 좌표일 뿐입니다. 각을 $\dfrac{\pi}{2}$($90°$)를 넘겨 계속 돌리면 좌표의 부호가 사분면마다 바뀌는 것도, $2\pi$($360°$)를 지나면 같은 자리로 돌아와 값이 되풀이되는 것도 그대로 보입니다. (위젯의 슬라이더는 도(°)로 움직이고, 그 아래에 같은 각의 라디안 값이 함께 표시됩니다.)

특수각 π/6 (30°)제2사분면 2π/3 (120°)tan 이 끊기는 π/2 (90°)

sin·cos덧셈정리복소평면각의 변환

cos 30° = 0.866 = √3/2 sin 30° = 0.500 = 1/2 tan 30° = 0.577

sin²30° + cos²30° = 1.000: 각을 어디로 옮겨도 1

각 θ (도)

θ = 30° = π/6 · 제1사분면

각 30도(π/6 라디안), 제1사분면. cos 0.866, sin 0.500. 제곱의 합은 1.000 로 언제나 1 입니다.

• 주기함수다: $\sin\theta$ 와 $\cos\theta$ 는 각이 $2\pi$($360°$) 늘어날 때마다 같은 값으로 되풀이된다. 이렇게 일정 간격마다 값이 반복되는 함수를 주기함수라 하고, 반복 간격을 주기라 한다. 두 함수의 주기는 $2\pi$ 이고, 값의 범위(치역)는 $-1$ 이상 $1$ 이하, 곧 $[-1,\ 1]$ 이다.
• 그래프 모양: $y = \sin\theta$ 는 $\theta = 0$ 에서 $0$ 부터 시작해 오르내리는 파동이다. $y = \cos\theta$ 는 $\theta = 0$ 에서 최댓값 $1$ 로 시작하는 파동으로, 사인과 같은 모양의 파동을 옆으로 민 형태다.
• 각의 변환은 대칭이다: 교과서가 이 묶음을 삼각함수의 성질이라는 이름으로 싣는다. 단위원 위의 점을 옮기면 좌표가 바뀌고, 그것이 그대로 각의 변환 공식이 된다. $\pi - \theta$ 는 $y$ 축 대칭이라 높이가 그대로여서 $\sin(\pi-\theta) = \sin\theta$ 이고 $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$ 다. 두 각을 더하면 $\pi$($180°$)가 되므로 서로 보각이고, 그래서 이 줄을 보각 공식이라 부른다. $\pi + \theta$ 는 원점 대칭이라 둘 다 부호가 바뀌고, $-\theta$ 는 $x$ 축 대칭이라 $\sin$ 만 부호가 바뀐다. $\dfrac{\pi}{2} \pm \theta$ 만 성격이 다른데, 대칭축이 직선 $y = x$ 라 좌표의 $x$ 와 $y$ 가 자리를 바꾸고 그래서 $\sin$ 과 $\cos$ 의 이름까지 바뀐다. 그중 $\dfrac{\pi}{2} - \theta$ 는 두 각을 더하면 $\dfrac{\pi}{2}$($90°$)가 되어 서로 여각이므로 여각 공식이라 부르며, 01에서 $30°$ 와 $60°$ 를 두고 말한 여각 관계를 모든 각으로 넓힌 것이다. (단계별 유도는 삼각함수의 성질 (각의 변환)에 적어 두었다.)
• 탄젠트는 다르다: $y = \tan\theta$ 는 주기가 $\pi$($180°$)로 더 짧고, $\cos\theta = 0$ 이 되는 지점($\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{2}$ 등)에서는 분모가 $0$ 이 되어 값이 정의되지 않는다. 그래서 그래프가 그 지점에서 끊긴다.