이동·교통 중2
세 마을에서 같은 거리에 소방서를 지으려면 · 삼각형의 외심
세 변의 수직이등분선이 만나는 한 점이 세 마을까지의 거리가 같은 곳이다
- 수직이등분선 두 마을에서 같은 거리인 점들
- 5km 직각삼각형이면 빗변의 중점까지
- 바깥 둔각삼각형의 외심 위치
세 마을 A, B, C가 있고, 어느 마을에서 불이 나도 똑같이 빨리 갈 수 있는 곳에 소방서를 지으려 한다. 「A와 B에서 같은 거리」인 점들은 선분 AB의 수직이등분선 위에 모두 모여 있다. 마찬가지로 B와 C에서 같은 거리인 점들은 BC의 수직이등분선 위에 있다.
같은 거리를 원하면 원을 그리면 된다. 그 원의 중심이 외심이다.
두 수직이등분선이 만나는 점을 O라 하면, O는 A와 B에서 같은 거리이고 B와 C에서도 같은 거리이니 세 마을에서 모두 같은 거리다. 그러면 O는 CA의 수직이등분선 위에도 있다. 세 수직이등분선이 한 점에서 만나는 이유다. 이 점을 삼각형의 외심이라 하고, O를 중심으로 세 마을을 지나는 원을 그릴 수 있다.
세 마을이 직각삼각형을 이루면 외심을 바로 찾을 수 있다. A에서 B까지 6km, B에서 C까지 8km이고 B에서 두 길이 직각으로 만난다면, 빗변 AC는 피타고라스 정리로 10km다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 소방서는 AC의 한가운데에 서고, 세 마을까지 모두 5km다.
삼각형이 둔각삼각형이면 외심은 삼각형 바깥으로 나간다. 세 마을에서 같은 거리인 곳이 마을들 사이가 아니라 저 멀리에 생기는 셈이다. 그때는 「같은 거리」라는 조건보다 「가장 먼 마을까지의 거리를 줄이는 것」이 더 나은 기준일 수 있다. 실제로는 길과 지형도 따져야 한다. 수학은 조건을 정하면 그 조건을 만족하는 점이 어디인지 정확히 알려 준다.