게임·확률 수2
롤러코스터의 언덕 꼭대기가 가장 높은 곳은 아니다 · 극대와 최대
높이 그래프에서 도함수가 0인 곳은 언덕과 골짜기지만, 가장 높은 곳은 끝점일 수 있다
- h′ = 3(x − 2)(x − 4) 도함수가 0인 곳은 x = 2, 4
- 20m · 16m 극대와 극소의 높이
- h(5) = 20 끝점이 극대와 같은 높이
어느 놀이기구의 레일 높이를 출발점에서의 수평 거리 x(단위 10m)에 따라 h(x) = x³ − 9x² + 24x(m)로 나타냈다고 하자(설명을 위해 만든 식이다). 0 ≤ x ≤ 5인 구간에서 언덕과 골짜기는 어디에 있을까. 오르막에서 내리막으로 바뀌는 곳에서는 기울기가 0이므로 도함수를 본다.
극대는 근처에서 가장 높은 곳이다. 가장 높은 곳을 찾으려면 끝점까지 견줘야 한다.
h′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3(x − 2)(x − 4)이다. x < 2에서는 h′ > 0이라 올라가고, 2 < x < 4에서는 h′ < 0이라 내려가며, x > 4에서는 다시 올라간다. 그래서 x = 2에서 극대(언덕 꼭대기), x = 4에서 극소(골짜기 바닥)다. 높이는 h(2) = 20m, h(4) = 16m다.
그런데 구간의 끝 x = 5에서 높이는 h(5) = 125 − 225 + 120 = 20m로, 언덕 꼭대기와 같다. 구간을 조금만 더 늘리면 끝점이 더 높아진다. 극대는 「그 근처에서 가장 높은 곳」일 뿐 전체에서 가장 높은 곳이라는 보장은 없다. 구간에서 최댓값을 찾으려면 극댓값과 양 끝점의 값을 모두 비교해야 한다.
놀이기구 설계자는 극대에서 속도가 가장 느려지고 극소에서 가장 빨라진다는 것을 이용한다. 도함수의 부호가 바뀌는 곳을 찾으면 사람이 붕 뜨는 느낌을 받는 지점과 몸이 눌리는 지점을 미리 알 수 있다. 등산 앱의 고도 그래프에서 「정상」과 「가장 높은 지점」이 다를 수 있는 것도 같은 이유다.