증가와 감소, 극대와 극소

개요

04에서 접선의 기울기가 $f'(a)$ 임을 확인했다. 그런데 기울기는 방향을 담고 있다. 어떤 구간에서 접선이 계속 오른쪽 위를 향한다면($f'(x) > 0$) 그 구간에서 그래프는 올라가고, 계속 오른쪽 아래를 향한다면($f'(x) < 0$) 내려간다. 곧 도함수의 부호가 그래프의 오르내림을 그대로 말해 준다.

그러면 오르다가 내려가기 시작하는 자리, 내려가다가 오르기 시작하는 자리는 어떤 곳일까. 방향이 뒤집히는 순간이니 그 자리에서 기울기는 $0$ 이다. 이 자리가 극대와 극소이고, 여기까지 오면 식만 보고도 그래프의 대략적인 모양을 그릴 수 있게 된다.

핵심 사실

• 극값의 필요조건: 함수가 $x = a$ 에서 극값을 가지면 $f'(a) = 0$ 이다. 다항함수에서는 극값을 찾을 자리를 $f'(x) = 0$ 의 해에서 고른다.
• 극대와 극소의 판정: 부호가 바뀌어야 한다. $f'(x)$ 가 $x = a$ 를 지나며

$$(+) \to (-) \ \text{로 바뀌면 극대}, \qquad (-) \to (+) \ \text{로 바뀌면 극소}$$

• $f'(a) = 0$ 이라고 반드시 극값인 것은 아니다. $f(x) = x^3$ 은 $f'(0) = 0$ 이지만 $f'(x) = 3x^2$ 이 $x = 0$ 의 좌우에서 모두 양수라 부호가 바뀌지 않는다. 그래서 $x = 0$ 은 극값이 아니고, 그래프는 잠시 평평해졌다가 계속 올라간다.
• 증감표를 쓴다: $f'(x) = 0$ 의 해로 수직선을 토막 내고, 각 토막에서 $f'(x)$ 의 부호를 조사해 표로 적는다. 부호를 알면 화살표($\nearrow$, $\searrow$)가 정해지고, 화살표가 꺾이는 자리가 극값이다.

아래에서 프리셋의 삼차함수로 바꾼 뒤 점을 좌우로 밀어 보세요. 접선이 오른쪽 위를 향하는 구간, 아래를 향하는 구간, 그리고 그 사이에서 접선이 수평이 되는 순간이 눈에 들어옵니다. 수평이 되는 그 자리가 바로 $f'(x)=0$ 이고, 그 좌우에서 기울기의 부호가 뒤집히면 극값입니다.

삼차함수의 극값포물선 y = x²

접선 · 기울기가 f′(a)평균값 정리 · 할선과 나란한 접선도함수의 정의 · h 를 줄인다역함수 · 기울기의 곱이 1

f(x) = x³ − 3x f′(x) = 3x² − 3

접점 (-1.00, 2.00) · 기울기 f′(-1.00) = 0.00
접선: y = 0.00x + 2.00

a -1.00 · f(a) 2.00 · 기울기 0.00

기울기가 0: 접선이 수평인 이 자리가 극값입니다.

접점의 x = a

f(x) = x³ − 3x 위의 점 x = -1.00 에서 접선의 기울기는 0.00 입니다. 기울기가 0 이라 접선이 수평이고, 이 자리가 극값입니다.