기술 기하
강을 곧게 건너려면 어느 쪽으로 배를 향해야 할까 · 벡터의 합
물살이 초속 3m면, 초속 4m 배는 상류 쪽으로 약 49° 비스듬히 향해야 곧게 건넌다
- 5m/s 똑바로 향했을 때 땅에 대한 속력
- 60m 20초 동안 떠내려가는 거리
- 48.6° 곧게 건너려고 상류로 기울이는 각
강폭이 80m이고 물이 초속 3m로 흐른다. 고요한 물에서 초속 4m로 가는 배가 강을 건넌다. 배가 맞은편을 똑바로 향하면 배의 속도 벡터(가로질러 4)와 물살의 속도 벡터(하류로 3)가 더해져, 땅에서 보면 초속 √(4² + 3²) = 5m로 비스듬히 간다.
빨리 건너기와 곧게 건너기 가운데 하나를 고르는 일을, 벡터의 합이 그림 한 장으로 보여 준다.
건너는 데는 80 ÷ 4 = 20초가 걸린다. 가로지르는 성분은 여전히 4이기 때문이다. 그동안 하류로 3 × 20 = 60m 떠내려가, 출발점의 정면이 아니라 60m 아래쪽에 닿는다. 더 빨리 가는데도(초속 5m) 원하는 곳에 닿지 못한다.
정면에 닿으려면 물살을 상쇄하도록 배를 상류 쪽으로 기울여야 한다. 배의 속도 4를 상류 방향 성분 3과 가로지르는 성분으로 나누면, 상류 성분 3이 물살 3을 지운다. 가로지르는 성분은 √(4² − 3²) = √7 ≈ 2.65다. 기울이는 각 θ는 sin θ = 3/4에서 약 48.6°다. 건너는 시간은 80 ÷ 2.65 ≈ 30.2초로 10초 넘게 늘어난다.
빨리 건너기와 곧게 건너기는 동시에 이룰 수 없다. 벡터의 합은 이 선택을 그림 한 장으로 보여 준다. 비행기가 옆바람 속에서 활주로를 향해 기수를 비스듬히 돌린 채 착륙하는 것, 수영 선수가 조류를 거슬러 비스듬히 헤엄치는 것도 같은 계산이다. 물살이 배보다 빠르면 아무리 기울여도 정면에 닿을 수 없다.