평균이 같은 두 반 · 평균만 보면 놓치는 것
평균이 똑같이 60점인 두 반, 표준편차는 1.4점과 21.2점
- 1.4점 A반의 표준편차
- 21.2점 B반의 표준편차
- 15배 두 교실의 흩어짐 차이
두 반의 수학 평균이 똑같이 60점이다. 같은 반일까. 다섯 명씩 점수를 열어 보자. A반은 58, 59, 60, 61, 62이고 B반은 30, 45, 60, 75, 90이다. 평균은 둘 다 정확히 60점인데, 두 교실에서 벌어지는 일은 완전히 다르다.
한 숫자로 줄이는 순간 교실의 모양이 사라진다. 평균이 같아도 그 안에서 벌어지는 일은 전혀 다를 수 있다.
이 차이를 재는 값이 표준편차다. 각 점수에서 평균을 뺀 편차를 제곱해 평균한 것이 분산이고, 그 제곱근이 표준편차다. A반의 편차는 −2, −1, 0, 1, 2이므로 분산은 (4 + 1 + 0 + 1 + 4) ÷ 5 = 2, 표준편차는 약 1.4점이다. B반의 편차는 −30, −15, 0, 15, 30이므로 분산은 (900 + 225 + 0 + 225 + 900) ÷ 5 = 450, 표준편차는 약 21.2점이다. 15배 차이다. 편차를 그냥 더하면 양수와 음수가 서로 지워져 늘 0이 되기 때문에 제곱해서 더한다. 이것이 분산에 제곱이 붙어 있는 이유다.
수업이 달라져야 한다. A반은 모두가 같은 지점에 서 있으니 전체를 향해 다음 개념으로 넘어가면 된다. B반에서 같은 수업을 하면 90점 학생은 지루하고 30점 학생은 한 마디도 따라오지 못한다. 평균 60점이라는 한 숫자는 이 사실을 완벽하게 가린다.
같은 70점의 의미도 반마다 다르다. A반에서 70점이면 평균보다 표준편차 7개만큼 위, 사실상 압도적인 1등이다. B반에서 70점은 표준편차 0.5개만큼 위, 중상위권일 뿐이다. 그래서 성적을 비교할 때는 점수 자체가 아니라 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 본다. 수능 성적표의 표준점수가 바로 이 계산이다.