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산포도

자료가 평균을 중심으로 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 편차·분산·표준편차를 익힌다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

분산·표준편차를 구하는 계산은 절차라 붙는다. 배점은 **편차의 합이

0

이라는 성질로 거꾸로 푸는 문항과 값을 해석하는 서술형이다. 계산 반복보다 "이 값이 크다는 것이 무슨 뜻인가"를 한 줄로 쓰는 연습**에 시간을 쓴다.

여기서 무너집니다

편차를 그냥 더했다가

0

이 나오자 계산이 틀렸다고 여긴다. **

0

이 나오는 것이 정상이라고 먼저 알려 주고** 그래서 제곱한다는 순서로 간다. "절댓값은 안 되느냐"는 물음이 나오면 좋다. 된다고 답하고 제곱이 다루기 편해 표준으로 굳었다고 말해 주면, 분산의 제곱이 임의의 규칙으로 남지 않는다.

확인 질문

편차를 모두 더하면 얼마입니까? 그래서 분산에서는 무엇을 합니까?

$0$ 과 "제곱해서 더한다"가 함께 나오면 통과. 편차의 합이 $0$ 이라는 것을 모르면 빠진 변량을 구하는 문항에 손을 못 댄다.

개요

평균이 같아도 자료의 생김새는 완전히 다를 수 있다. 한 반은 모두 비슷한 점수인데 다른 반은 아주 높고 낮은 점수가 섞여 있다면, 평균만으로는 이 차이를 알 수 없다. 산포도는 자료가 평균을 중심으로 얼마나 흩어져 있는지를 하나의 수로 나타낸다. 그 핵심이 분산과 표준편차다.

핵심 사실

정의

편차: 각 변량에서 평균을 뺀 값. 평균보다 크면 양수, 작으면 음수다.

(\text{편차})=(\text{변량})-(\text{평균})

편차의 합은 항상 $0$ : 그래서 흩어진 정도를 재려면 편차를 그냥 더할 수 없고, 제곱해서 부호를 없앤다.
분산: 편차를 제곱한 값들의 평균이다.

(\text{분산})=\frac{(\text{편차})^2 \text{의 총합}}{(\text{변량의 개수})}

표준편차: 분산의 음이 아닌 제곱근. 분산은 제곱 때문에 단위가 커지므로, 원래 단위로 되돌린 표준편차를 함께 쓴다.

(\text{표준편차})=\sqrt{(\text{분산})}

표준편차가 작을수록 자료가 평균 가까이 모여 있고, 클수록 넓게 퍼져 있다.

편차를 그냥 더하면 항상 $0$ 입니다. 그래서 제곱합니다. 분산과 표준편차가 왜 그렇게 생겼는지는 이 한 가지 사정에서 나옵니다. 아래 두 번째 단계가 그 자리입니다.

x_{i} - \overset{x}{ˉ}

편차: 각 자료가 평균에서 떨어진 거리를 부호까지 살려 적은 값.

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완료로 두면 중3 방정식과 함수 목차에 표시됩니다.