표준점수 · 원점수 100점이 100점이 아닌 이유
같은 80점이 어떤 해에는 140점, 어떤 해에는 120점
- 140 평균 40인 해의 원점수 80
- 120 평균 60인 해의 원점수 80
- z = 2 평균에서 표준편차 두 개 위
수능 성적표에는 원점수가 없다. 대신 표준점수가 찍힌다. 국어·수학은 평균을 100, 표준편차를 20으로 맞춘 값이고, 계산식은 표준점수 = 100 + 20 × (원점수 − 평균) ÷ 표준편차 로 정해져 있다. 이 식에 들어 있는 (원점수 − 평균) ÷ 표준편차 가 바로 정규분포에서 배우는 z, 표준화한 값이다.
같은 점수라도 어떤 시험에서 받았느냐에 따라 값이 달라진다. 표준점수의 눈금은 점수가 아니라 표준편차다.
왜 원점수를 그냥 쓰지 않을까. 어떤 해 수학 시험의 평균이 40점, 표준편차가 20점이었다고 하자. 원점수 80점이면 z = (80 − 40) ÷ 20 = 2, 표준점수는 100 + 20 × 2 = 140이다. 그런데 다른 해에는 같은 80점이라도 평균이 60점이었다면 z = 1, 표준점수는 120에 그친다. 같은 80점이 어떤 해에는 140점이고 어떤 해에는 120점이다. 시험의 난이도를 점수 안에 접어 넣은 결과다.
그래서 "불수능이면 표준점수 최고점이 올라간다"는 말이 나온다. 위 예에서 만점자의 표준점수는 평균 40일 때 100 + 20 × 3 = 160, 평균 60일 때는 140이다. 평균이 낮은 어려운 시험일수록 만점까지의 거리가 표준편차 몇 개분인지가 커지기 때문이다. 다만 어려운 시험은 표준편차도 함께 변하므로 실제 최고점은 두 값이 같이 결정한다.
선택과목 사이의 유불리도 여기서 나온다. 같은 원점수라도 응시 집단의 평균과 표준편차가 다르면 표준점수가 달라진다. 잘하는 학생이 몰린 과목은 평균이 높아 같은 점수의 z가 작아진다. 표준화는 서로 다른 시험을 한 자에 올려놓기 위한 장치이고, 그 자의 눈금은 언제나 "평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는가"다.