연속확률변수와 정규분포

개요

이산확률변수와 이항분포에서는 확률변수의 값이 $0, 1, 2, \dots$ 처럼 셀 수 있는 경우만 다뤘다. 그런데 키·몸무게·측정 오차처럼 값이 어떤 구간 안의 실수 전부를 채우는 경우도 있다. 이런 연속확률변수는 특정한 한 값이 나올 확률을 따로 물어봐야 소용이 없다. 값이 무한히 많아 하나하나에 확률을 배정할 수 없기 때문이다. 대신 어떤 구간에 들어갈 확률을 그 구간 위의 넓이로 잰다.

이 단원의 정점은 정규분포다. 자연에서 관찰되는 수많은 분포가 평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양 곡선을 그리고, 흩어진 정도는 표준편차 $\sigma$ 하나로 결정된다. 그리고 평균과 표준편차가 제각각인 정규분포라도 표준화를 거치면 단 하나의 표준정규분포 $\mathrm{N}(0,1)$ 로 모이므로, 표 하나로 온갖 문제를 처리할 수 있게 된다.

06에서 익힌 평균·분산의 감각은 여기서도 그대로 쓰인다. 다음 소단원 통계적 추정은 표본평균이라는 새로운 확률변수 자체가 정규분포를 따른다는 사실에서 출발하므로, 정규분포를 읽는 감각이 그대로 이어진다.

핵심 사실

• 전체 넓이는 항상 $1$ 이고, 한 점에서의 확률 $P(X=a)$ 는 넓이가 $0$ 이므로 항상 $0$ 이다.
• 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$: 평균 $m$, 분산 $\sigma^2$ 인 연속확률분포로, 그래프는 $x=m$ 에 대해 좌우 대칭인 종 모양이다. $\sigma$ 가 클수록 곡선은 낮고 넓게 퍼지고, 작을수록 높고 뾰족해진다. 모양이 달라져도 넓이는 항상 $1$ 로 같다.
• 표준화: 정규분포 $\mathrm{N}(m,\sigma^2)$ 을 따르는 $X$ 를 다음처럼 바꾸면 언제나 표준정규분포 $\mathrm{N}(0,1)$ 을 따른다.

$$Z = \frac{X-m}{\sigma}$$

• 평균을 $0$ 으로 옮기고, 단위를 표준편차로 나눠 흩어진 정도를 $1$ 로 맞추는 것이다.
• 표준정규분포표는 $P(0 \le Z \le z)$ 의 값을 $z$ 별로 정리한 표다. 이 값 하나와 대칭성만으로 다른 모든 구간의 확률을 만들어 낸다(아래 표).
• 이항분포의 정규근사: $n$ 이 충분히 크면 이항분포 $\mathrm{B}(n,p)$ 는 근사적으로 정규분포를 따르고, 그 정규분포는 다음과 같다.

$$\mathrm{N}\big(np,\ np(1-p)\big)$$

• 이때 확률은 $Z = \dfrac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ 로 표준화해서 구한다.