그네는 가장 낮은 곳에서 가장 빠르다 · 사인함수의 도함수

그네를 타면 양 끝에서는 잠깐 멈추는 듯하고, 가장 낮은 곳을 지날 때 가장 빠르다. 그네가 좌우로 흔들리는 거리를 시간의 함수로 쓰면 이 느낌을 식으로 확인할 수 있다. 가운데에서 양쪽으로 1.2m까지 오가고 한 번 왕복하는 데 3초가 걸린다면, 위치는 x(t) = 1.2 sin(2πt ÷ 3)(m)로 어림할 수 있다.

위치가 사인이면 속도는 코사인이다. 한쪽이 꼭대기일 때 다른 쪽은 0을 지난다.

속도는 위치를 미분한 것이다. (sin x)′ = cos x와 합성함수의 미분법으로 v(t) = 1.2 × (2π ÷ 3) × cos(2πt ÷ 3) ≈ 2.51 cos(2πt ÷ 3)이다. 위치가 사인이면 속도는 코사인이고, 두 그래프는 4분의 1주기만큼 어긋나 있다.

t = 0일 때 위치는 sin 0 = 0으로 가운데이고, 속도는 cos 0 = 1이라 최대인 초속 2.51m다. t = 0.75초일 때 위치는 sin(π/2) = 1로 끝에 닿고, 속도는 cos(π/2) = 0이다. 위치의 그래프가 꼭대기에 있을 때 기울기가 0이고, 가운데를 지날 때 기울기가 가장 가파르다. 도함수는 그 기울기를 말한다.

한 번 더 미분하면 가속도 a(t) = −(2π ÷ 3)² × x(t)가 나온다. 가속도가 위치와 반대 방향으로, 위치에 비례한다. 끝에서 가장 세게 가운데로 끌어당기고 가운데에서는 끌어당김이 없다. 시계추, 스프링에 매단 물체, 소리를 내는 기타 줄이 모두 이 식을 따르며, 그래서 삼각함수가 진동을 나타내는 언어가 되었다.

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