기술 수2
터널 안에서도 내비게이션이 내 위치를 아는 법 · 부정적분과 적분상수
속도를 적분하면 위치가 나오지만, 출발점 C를 알아야 어디인지 정해진다
- 20t + 0.1t² + C 속도를 적분한 위치
- C = 3000 터널 입구 위치로 정한 적분상수
- 690m 30초 동안 터널 안에서 간 거리
긴 터널에 들어가면 위성 신호가 끊겨 GPS가 위치를 잡지 못한다. 그래도 내비게이션 화면의 차는 터널 안을 계속 움직인다. 차의 속도 정보와 시간을 가지고 위치를 이어서 계산하기 때문이다. 속도에서 위치를 구하는 계산이 적분이다.
속도는 얼마나 움직였는지를 말하고, 적분상수는 어디서 출발했는지를 말한다.
터널에 들어간 순간을 t = 0초로 두고, 차가 천천히 가속해 속도가 v(t) = 20 + 0.2t(m/s)였다고 하자. 위치는 미분해서 v가 되는 함수이므로 부정적분으로 구한다. x(t) = ∫(20 + 0.2t)dt = 20t + 0.1t² + C이다. 여기서 C는 적분상수다.
속도만으로는 C를 알 수 없다. 출발점이 어디였든 미분하면 C는 사라지기 때문이다. 내비게이션은 신호가 끊기기 직전의 위치, 예를 들어 터널 입구가 도로 기점에서 3,000m인 곳이라는 정보로 C = 3000을 정한다. 그러면 30초 뒤 위치는 3000 + 600 + 90 = 3,690m, 터널 입구에서 690m 들어간 곳이다.
속도를 조금씩 잘못 재면 그 오차가 쌓여 위치가 점점 어긋난다. 그래서 터널을 빠져나와 신호가 다시 잡히면 화면의 차가 살짝 튀어 제자리로 옮겨 간다. 적분상수 하나와 측정 오차의 누적, 이 두 가지가 수학 시간의 「+ C」가 현실에서 하는 일이다.