리만은 독일 북부의 가난한 목사 집안에서 태어났다. 수줍음이 많고 몸이 약했다. 아버지 뜻을 따라 신학을 공부하러 괴팅겐에 갔지만 수학으로 돌아섰고, 그곳에서 가우스에게 배웠다. 1859년 디리클레의 뒤를 이어 괴팅겐의 교수가 됐으나 결핵으로 서른아홉에 세상을 떠났다.
1854년 교수 자격을 얻기 위한 논문에서 그는 어떤 함수라야 적분할 수 있는가를 물었다. 구간을 잘게 나눠 각 조각 위에 직사각형을 세우고 그 넓이를 모두 더한 뒤, 조각을 한없이 가늘게 할 때의 극한을 정적분으로 정의했다. 이것이 리만 합이다. 이 논문은 그가 살아 있는 동안에는 출판되지 않았다. 같은 해 교수 자격 강연에서는 평평하지 않은 공간의 기하학을 이야기했고, 가우스가 그 강연을 듣고 크게 감탄했다고 전해진다. 1859년 소수가 어떻게 흩어져 있는지를 다룬 논문 한 편에 남긴 추측은 지금도 풀리지 않은 리만 가설이다.
그가 남긴 논문은 많지 않지만 거의 한 편 한 편이 새 분야의 출발점이 됐다. 고3 이 급수의 극한을 정적분으로 바꾸는 문제에서 하는 일이 바로 그의 정의를 거꾸로 읽는 것이다. 그가 연 휜 공간의 기하학은 60년 뒤 아인슈타인의 일반상대성이론이 딛고 선 땅이 됐다.
주요 업적
- 리만 합으로 정적분을 정의(1854)
- 휜 공간을 다루는 리만 기하학의 기초를 강연(1854)
- 소수 분포에 관한 리만 가설 제시(1859)
- 복소함수론의 리만 면
시험에서는
lim (1/n) Σ f(k/n) = ∫₀¹ f(x) dx 는 1/n 을 dx, k/n 을 x 로 읽으면 된다. 합의 범위가 1 부터 n 이면 적분 구간은 0 부터 1 이다. Σ f(a + (b − a)k/n) · (b − a)/n 꼴이면 구간이 a 부터 b 다.