수2 미적분

정적분의 성질

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0, \int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x, \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x

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정적분을 원시함수의 차 F(b) − F(a) 로 정해 두면 위끝과 아래끝을 다루는 성질 셋이 그 정의에서 곧바로 나온다. 구간을 중간의 한 점에서 둘로 나눌 수 있고, 두 끝이 같으면 0 이고, 두 끝을 바꾸면 부호가 바뀐다. 절댓값이 든 함수나 x 축 아래로 내려가는 함수를 적분할 때 구간을 쪼개는 근거가 이것이다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

F(b) − F(a) 에서 세 성질을 끌어낸다
위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀌는 까닭을 설명한다
부호가 바뀌는 점에서 구간을 나눠 절댓값이 든 함수를 적분한다

한 단계씩 유도해 보기

a 에서 b 까지의 정적분을 c 에서 둘로 나눴다. 두 조각을 원시함수로 쓰면 앞 조각의 끝 F(c) 와 뒤 조각의 시작 F(c) 가 지워져 전체와 같아진다. 같은 셈에서 b 를 a 로 되돌리면 갔다가 돌아온 두 조각이 서로 지워지므로, 위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀐다.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

정적분의 정의에서 출발한다. F 는 f 의 원시함수 가운데 아무것이나 하나다. 세 성질이 모두 이 한 줄에서 나온다.

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외울까, 되살릴까

외우지 않아도 된다

정적분이 F(b) − F(a) 라는 정의 하나에서 셋이 다 나온다. 가운데 항이 지워지는 것과 빼는 순서만 보면 된다.

구간 나누기는 가운데 F(c) 가 지워지는 것으로 확인한다. 두 끝이 같으면 같은 값을 빼니 0, 두 끝을 바꾸면 빼는 순서가 바뀌니 부호가 바뀐다. |x − 1| 을 0 부터 2 까지 적분할 때 x = 1 에서 나누는 것이 이 성질을 쓰는 자리다.

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아래끝 a = 0 위끝 b = 3 경계 c = 2

∫_a^c + ∫_c^b = −5.333 + (2.333) = −3 두 조각을 원시함수로 따로 구해 더했다. 아래의 전체 값과 같다

∫_a^b (x² − 4) dx = −3 − 0 = −3 F(c) 가 앞 조각에서는 더해지고 뒤 조각에서는 빠져 지워진다. 그래서 c 를 어디에 두어도 합은 F(b) − F(a) 다

끝을 바꾸면 ∫_b^a = 3 같은 넓이를 거꾸로 걸었다. 크기는 같고 부호만 바뀐다. a = b 이면 둘 다 0 이다

∫ac −5.333 · ∫cb 2.333 · 합 −3 · ∫ab −3 · ∫ba 3

y = x² − 4 을 0 부터 2 까지와 2 부터 3 까지로 나눴습니다. 두 조각은 −5.333 과 2.333 이고 더하면 −3 로, 0 부터 3 까지의 정적분 −3 과 같습니다.

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베른하르트 리만 넓이를 직사각형 합의 극한으로 정의해 정적분에 이름을 남긴, 마흔을 못 채우고 떠난 사람 생활 속 수학 🌍 전기 요금의 kWh는 그래프 아래 넓이다 · 정적분 전력 그래프 아래 넓이가 쓴 전기의 양이고, 요금은 그 넓이에 매겨진다 수업에서 쓰기 🎞 잘게 쪼개 더하면 넓이가 남는다 미적분Ⅰ 정적분 · 9장 · 브라우저에서 바로 열립니다 직접 만져 보기 🔬 적분 놀이터 쪼갤수록 F(b) − F(a) 에 붙는다 전체 흐름 보기 🧠 개념 지도 이 공식이 어디서 오고 어디로 이어지는지 한눈에