미적분Ⅱ

개요

$\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{4},\ \dots$ 은 아무리 가도 $0$ 이 되지는 않지만 $0$ 에 한없이 가까워진다. 이렇게 끝없이 이어지는 수열이 어디로 다가가는가를 묻는 것이 극한이다.

수2에서 배운 함수의 극한이 ”$x$ 가 어떤 값에 다가갈 때”를 물었다면, 여기서는 항 번호 $n$ 이 한없이 커질 때를 묻는다. 다가가는 값이 있으면 수렴, 없으면 발산이다.

계산에서 가장 자주 만나는 것은 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴이다. 분자도 분모도 끝없이 커지므로 그대로는 답을 알 수 없다. 이때는 가장 크게 자라는 항으로 나누어 정체를 드러내는 것이 정석이다. 이 소단원의 계산은 대부분 그 한 가지 요령으로 정리된다.

핵심 사실

• 수렴과 발산: $n \to \infty$ 일 때 $a_n$ 이 일정한 값 $\alpha$ 에 한없이 가까워지면 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \alpha$ 로 쓰고 수렴한다고 한다. 그런 값이 없으면 발산이며, 양의 무한대·음의 무한대·진동으로 나뉜다.

• 기본 극한: $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0$ 이고, $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^k} = 0\ (k > 0)$ 이다. 이 둘이 모든 계산의 출발점이다.

• 극한의 성질: 두 수열이 모두 수렴할 때만 합·차·곱·몫의 극한을 따로 계산해 합칠 수 있다.

$$\lim (a_n \pm b_n) = \alpha \pm \beta,\qquad \lim (a_n b_n) = \alpha\beta,\qquad \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta}\ (\beta \ne 0)$$

• $\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴 — 분모의 최고차항으로 나눈다. 유리식이면 분자·분모의 차수를 비교하는 것으로 답이 정해진다.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n}{2n^2 - 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{5}{n^2}} = \frac{3}{2}$$

• 차수 비교: (분자 차수) < (분모 차수)면 극한은 $0$, 차수가 같으면 최고차항 계수의 비, 분자 차수가 크면 발산한다.
• $\infty - \infty$ 꼴은 유리화한다. $\sqrt{n^2+n} - n$ 처럼 근호가 있으면 켤레를 곱해 분수 꼴로 바꾼 뒤 위 방법을 쓴다.
• 등비수열 $r^n$ 의 극한은 공비의 크기로 갈린다.

$$\lim_{n \to \infty} r^n = \begin{cases} 0 & (-1 < r < 1) \\ 1 & (r = 1) \\ \text{발산} & (r \le -1 \ \text{또는}\ r > 1) \end{cases}$$

• 샌드위치 정리: $a_n \le b_n \le c_n$ 이고 $a_n$ 과 $c_n$ 이 같은 값 $\alpha$ 로 수렴하면 $b_n$ 도 $\alpha$ 로 수렴한다. 직접 계산이 어려운 수열을 양쪽에서 조여 잡을 때 쓴다.

공비를 밀어 보면 수렴과 발산의 갈림이 한눈에 보인다. $|r| < 1$ 이면 항이 점점 $0$ 으로 눌리고, $|r| > 1$ 이면 걷잡을 수 없이 커진다. 경계인 $r = 1$ 과 $r = -1$ 에서 무슨 일이 벌어지는지도 직접 확인해 보자.

수렴 (r = 0.5)발산 (r = 1.5)

등차수열 등비수열

항 aₙ 부분합 Sₙ

첫째항 a = 4 공비 r = 0.500 항의 개수 n = 14

4,2,1,0.500,0.250,0.125,0.063,0.031, …

항이 매번 0.500 배가 되어 점들이 곡선을 그린다 — 일정한 비로 커지거나 줄어드는 것이 등비수열이다.

비교표

꼴	방법	예
$\dfrac{\infty}{\infty}$ (유리식)	분모의 최고차항으로 나눈다	$\dfrac{3n^2+n}{2n^2-5} \to \dfrac{3}{2}$
$\infty - \infty$ (근호)	켤레를 곱해 유리화	$\sqrt{n^2+n}-n \to \dfrac{1}{2}$
$r^n$	공비의 크기로 판정	$\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0$
조이는 꼴	샌드위치 정리	$\dfrac{\sin n}{n} \to 0$

시험 포인트

• $\infty$ 는 수가 아니다. $\dfrac{\infty}{\infty} = 1$, $\infty - \infty = 0$ 이라고 쓰면 안 된다. 이런 꼴은 답이 정해지지 않아 부정형이라 부르며, 반드시 식을 변형해 정체를 밝혀야 한다.
• 극한의 성질은 각각 수렴할 때만 쓸 수 있다. 발산하는 두 수열의 차가 수렴하는 경우도 있으므로 따로 떼어 계산하면 틀린다.
• 차수만 비교하면 되는 문제가 많다. 유리식이면 최고차항만 보고 $0$·계수비·발산 중 하나로 바로 답할 수 있다.
• $r^n$ 에서 $r = -1$ 을 조심한다. $(-1)^n$ 은 $1$ 과 $-1$ 을 오가며 진동하므로 수렴하지 않는다. $|r| < 1$ 인지 확인하는 습관을 들인다.
• 근호가 보이면 유리화를 먼저 떠올린다. $\infty - \infty$ 를 그대로 두고 대소를 짐작하면 안 된다.

개요

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ 을 끝없이 더하면 얼마가 될까? 무한히 더하니 무한대가 될 것 같지만, 실제로는 $1$ 에 한없이 가까워진다. 한 걸음마다 남은 거리의 절반씩 가는 셈이라 결코 $1$ 을 넘지 못하기 때문이다.

이렇게 수열의 항을 무한히 더한 것이 급수다. 무한히 더한다는 말 자체는 뜻이 분명하지 않으므로, 수학은 이것을 앞에서부터 $n$ 개까지 더한 값(부분합)의 극한으로 정의한다. 무한의 문제를 앞 소단원의 수열의 극한 문제로 바꿔 놓는 것이다.

핵심 사실

• 급수의 정의: 수열 $\{a_n\}$ 의 부분합을 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ 이라 할 때

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} S_n$$

• 이 극한이 존재하면 급수가 수렴하고 그 값을 급수의 합이라 한다. 존재하지 않으면 발산이다.
• 등비급수: 첫항 $a$, 공비 $r$ 인 등비수열의 급수는 $|r| < 1$ 일 때만 수렴하며 그 합은

$$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r} \qquad (|r| < 1)$$

• 등비수열의 합 $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ 에서 $|r| < 1$ 이면 $r^n \to 0$ 이므로 이 값이 남는다. $|r| \ge 1$ 이면 발산한다.
• 위 예는 $a = \dfrac{1}{2}$, $r = \dfrac{1}{2}$ 이므로 합이 $\dfrac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ 이다.
• 수렴의 필요조건: 급수 $\sum a_n$ 이 수렴하면 반드시 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$ 이다. 역은 성립하지 않는다 — 항이 $0$ 으로 가도 급수는 발산할 수 있다.
• 대우로 쓰면 강력한 판정법이 된다. 일반항이 $0$ 으로 가지 않으면 그 급수는 반드시 발산한다.
• 순환소수는 등비급수다. $0.\dot{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \cdots$ 은 $a = 0.3$, $r = 0.1$ 인 등비급수이므로 합이 $\dfrac{0.3}{0.9} = \dfrac{1}{3}$ 이다. 중2에서 분수로 고치던 방법의 정체가 이것이다.
• 급수의 성질: 두 급수가 모두 수렴할 때 항끼리 더하거나 상수배한 급수도 수렴하고, 그 합은 각각의 합을 더하거나 상수배한 것과 같다.

아래에서 「부분합 Sₙ」으로 전환하고 항의 개수를 늘려 보자. 점선이 $\dfrac{a}{1-r}$ 이고, 부분합은 항을 아무리 더해도 그 선을 넘지 못한 채 다가가기만 한다. 공비를 $1$ 보다 크게 밀면 그 선이 사라지고 부분합이 걷잡을 수 없이 커지는 것도 같은 화면에서 확인할 수 있다.

수렴하는 등비급수발산하는 등비급수

등차수열 등비수열

항 aₙ 부분합 Sₙ

첫째항 a = 4 공비 r = 0.500 항의 개수 n = 14

4,6,7,7.50,7.75,7.88,7.94,7.97, …

공비의 절댓값이 1보다 작아 부분합이 8 에 멈춰 선다. 항을 무한히 더해도 이 선을 넘지 않는다.

비교표

	수열 $\{a_n\}$	급수 $\sum a_n$
묻는 것	항이 어디로 가는가	다 더하면 얼마인가
수렴 판정	$\lim a_n$ 존재	부분합 $\lim S_n$ 존재
예	$\dfrac{1}{n} \to 0$ (수렴)	$\sum \dfrac{1}{n}$ 은 발산

등비급수 $\sum ar^{n-1}$	결과
$\|r\| < 1$	$\dfrac{a}{1-r}$ 로 수렴
$\|r\| \ge 1$	발산 ($a \ne 0$)

시험 포인트

• “항이 $0$ 으로 가니 수렴한다”는 틀린 추론이다. $\sum \dfrac{1}{n}$ 은 일반항이 $0$ 으로 가지만 합은 무한대로 발산한다. 이 방향은 발산 판정에만 쓴다.
• 등비급수의 수렴 조건 $|r| < 1$ 을 먼저 확인한다. 조건을 확인하지 않고 $\dfrac{a}{1-r}$ 부터 쓰면, 발산하는 급수에 값을 붙이는 오답이 된다.
• 첫항을 정확히 잡는다. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ 과 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} ar^{n}$ 은 같지만, $n$ 의 시작이 $2$ 로 바뀌면 첫항이 $ar$ 이 된다. 몇 번째부터 더하는지 확인한다.
• 도형 문제로 나오는 등비급수가 많다. 정사각형 안에 절반 크기를 무한히 그려 넣는 문제라면 넓이의 비가 공비다. 첫 도형과 닮음비를 찾으면 끝이다.
• 급수의 성질도 각각 수렴할 때만 성립한다. 발산하는 급수끼리 더해 수렴하는 경우가 있으므로 나눠서 계산하면 안 된다.

개요

수2에서는 다항함수만 미분했다. 미적분Ⅱ는 미분할 수 있는 함수의 목록을 넓히는 단원이고, 그 첫 상대가 지수함수와 로그함수다.

여기서 새로운 수 하나가 등장한다. 밑을 어떤 수로 잡느냐에 따라 지수함수의 도함수에 지저분한 상수가 붙는데, 딱 한 밑에서만 그 상수가 $1$ 이 되어 미분해도 자기 자신이 나온다. 그 밑이 무리수 $e = 2.718\dots$ 다. $e$ 는 편의를 위해 고른 수가 아니라 미분이 가장 단순해지는 자리로서 자연스럽게 정해진 수이며, 그래서 밑이 $e$ 인 로그를 자연로그라 부른다.

핵심 사실

• $e$ 의 정의: 다음 극한값으로 정의되는 무리수이며 $e = 2.71828\dots$ 이다.

$$e = \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$

• 자연로그 $\ln x = \log_e x$ 로 쓴다. $\ln e = 1$, $\ln 1 = 0$ 이다.
• 기본 극한 두 개 — 도함수를 유도할 때 그대로 쓰인다.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1,\qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$

• 지수함수의 도함수: 밑이 $e$ 이면 미분해도 그대로다.

$$(e^x)' = e^x,\qquad (a^x)' = a^x \ln a$$

• 로그함수의 도함수: 밑이 $e$ 이면 분모가 $x$ 뿐이다.

$$(\ln x)' = \frac{1}{x},\qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$$

• $e^x$ 는 미분해도 변하지 않는 유일한 꼴이다. 그래서 성장·감쇠·복리처럼 “변화율이 현재 크기에 비례하는” 현상은 전부 $e$ 로 기술된다.
• $a^x$ 와 $\log_a x$ 에 붙는 $\ln a$ 는 밑을 $e$ 로 바꾸는 대가다. $a^x = e^{x \ln a}$ 로 고쳐 보면 어디서 나왔는지 보인다.
• 정의역 조건을 잊지 않는다. $\ln x$ 는 $x > 0$ 에서만 정의되므로, 도함수 $\dfrac{1}{x}$ 도 그 범위에서만 뜻을 가진다.

비교표

함수	도함수	기억할 점
$e^x$	$e^x$	미분해도 그대로
$a^x$	$a^x \ln a$	$\ln a$ 가 곱해진다
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	가장 단순한 꼴
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$\ln a$ 가 분모로

시험 포인트

• $\ln a$ 가 곱인지 분모인지 헷갈리지 않는다. 지수함수는 곱해지고($a^x \ln a$), 로그함수는 분모로 간다($\frac{1}{x\ln a}$). $a = e$ 를 넣어 $\ln e = 1$ 이 되는지 확인하면 바로 검산된다.
• $(e^x)' = xe^{x-1}$ 은 틀렸다. 지수에 문자가 있는 것이지 밑에 있는 것이 아니다. 거듭제곱의 미분 규칙을 여기에 쓰면 안 된다.
• 기본 극한을 꼴에 맞춰 쓴다. $\dfrac{\ln(1+3x)}{x}$ 같은 식은 분모를 $3x$ 로 맞추고 $3$ 을 곱해 정리한다.
• $e$ 의 정의를 두 가지 꼴로 알아 둔다. $x \to 0$ 짜리와 $n \to \infty$ 짜리는 $x = \frac{1}{n}$ 으로 서로 바뀐다. 문제에 나온 꼴에 맞춰 골라 쓴다.
• 로그의 성질로 먼저 정리하면 미분이 쉬워진다. $\ln(x^2\sqrt{x})$ 는 그대로 미분하지 말고 $\frac{5}{2}\ln x$ 로 고친 뒤 미분한다.

개요

미분할 수 있는 함수 목록에 삼각함수를 더할 차례다. 출발점은 극한 하나다 —

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

이 식이 뜻하는 바는 간단하다. 각이 아주 작을 때 $\sin x$ 와 $x$ 는 거의 같다는 것이다. 단위원에서 아주 짧은 호의 길이와 그 호에 대응하는 세로 길이가 거의 구분되지 않는 상황을 떠올리면 된다.

여기서 반드시 챙길 조건이 있다. 이 극한은 각을 라디안으로 잴 때만 $1$ 이 된다. 도(°)를 쓰면 $\frac{\pi}{180}$ 이라는 군더더기가 붙는다. 미적분에서 각을 라디안으로 재는 이유가 바로 이것이다.

핵심 사실

• 기본 극한: 각이 라디안일 때

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,\qquad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$

• 삼각함수의 도함수: 미분하면 사인과 코사인이 서로 옮겨 가고, 코사인 쪽에만 음의 부호가 붙는다.

$$(\sin x)' = \cos x,\qquad (\cos x)' = -\sin x,\qquad (\tan x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$$

• 네 번 미분하면 제자리로 돌아온다. $\sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x$ 의 순환이며, 이 주기성이 진동 현상을 다루는 열쇠다.
• $\dfrac{1-\cos x}{x^2} \to \dfrac{1}{2}$ 도 자주 쓰인다. 분자에 $1+\cos x$ 를 곱해 $\sin^2 x$ 로 바꾼 뒤 기본 극한을 쓰면 나온다.
• 각의 배수는 계수로 나온다. $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$ 처럼 안쪽 함수의 미분이 곱해지는데, 이것이 다음 소단원의 합성함수 미분이다.
• 극한 계산의 요령: $\dfrac{\sin(\square)}{\square}$ 꼴을 만들도록 분자·분모를 맞춘다. $\dfrac{\sin 5x}{2x}$ 라면 $\dfrac{\sin 5x}{5x} \times \dfrac{5}{2}$ 로 고쳐 $\dfrac{5}{2}$ 를 얻는다.

비교표

함수	도함수	부호
$\sin x$	$\cos x$	그대로
$\cos x$	$-\sin x$	음수
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	항상 양수

극한	값	조건
$\dfrac{\sin x}{x}$	$1$	$x \to 0$, 라디안
$\dfrac{\tan x}{x}$	$1$	$x \to 0$, 라디안
$\dfrac{1-\cos x}{x^2}$	$\dfrac{1}{2}$	$x \to 0$

시험 포인트

• 각은 라디안으로 잰다. 도 단위로 두면 기본 극한이 $1$ 이 아니라 $\frac{\pi}{180}$ 이 되어 도함수가 전부 달라진다. 미적분에서 $\sin 30$ 은 $30$ 라디안이라는 뜻이다.
• $(\cos x)'$ 의 음의 부호를 빠뜨리지 않는다. 가장 흔한 실수이며, $\cos$ 이 $x=0$ 근처에서 감소한다는 그래프를 떠올리면 부호가 확인된다.
• 극한은 꼴을 맞춰야 쓸 수 있다. $\dfrac{\sin 5x}{x}$ 를 곧바로 $1$ 로 두면 안 된다. 분모를 $5x$ 로 만들고 $5$ 를 곱해 준다.
• $\sin^2 x$ 와 $\sin x^2$ 는 다르다. 앞은 $(\sin x)^2$, 뒤는 $\sin(x^2)$ 이며 미분 결과도 완전히 다르다.
• $\tan x$ 의 정의역을 확인한다. $\cos x = 0$ 인 점에서는 정의되지 않으므로 도함수도 그 점을 뺀 범위에서만 뜻을 가진다.

개요

앞의 세 소단원에서 다항·지수·로그·삼각함수의 도함수를 하나씩 얻었다. 그런데 실제 문제에 나오는 식은 $x^2 e^x$, $\dfrac{\sin x}{x}$, $\sqrt{x^2+1}$ 처럼 이들이 섞인 꼴이다.

이 소단원은 그 조립 규칙을 다룬다. 곱해져 있으면 곱의 미분법, 나뉘어 있으면 몫의 미분법, 함수 안에 함수가 들어 있으면 연쇄법칙이다. 셋 중 가장 중요한 것은 연쇄법칙이다 — “겉을 미분하고 속을 미분해 곱한다”는 이 규칙 하나면 아무리 겹쳐 있어도 껍질을 하나씩 벗겨 낼 수 있다.

핵심 사실

• 곱의 미분법: 한쪽씩 번갈아 미분해 더한다.

$$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

• 몫의 미분법: 분모는 제곱, 분자는 빼는 순서가 중요하다.

$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$

• 연쇄법칙(합성함수의 미분): 겉함수를 미분한 뒤 속함수의 미분을 곱한다.

$$\{f(g(x))\}' = f'(g(x))\,g'(x)$$

• 예를 들어 $(\sin 3x)' = \cos 3x \cdot 3$, $(e^{x^2})' = e^{x^2}\cdot 2x$, $(\ln(2x+1))' = \dfrac{2}{2x+1}$ 이다.
• $x^n$ 의 미분은 실수 지수까지 확장된다. $(x^{\frac{1}{2}})' = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ 이므로 $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 다.
• 음함수의 미분법: $x^2 + y^2 = 1$ 처럼 $y$ 가 따로 풀려 있지 않아도, 양변을 $x$ 로 미분하되 $y$ 를 미분할 때마다 $\dfrac{dy}{dx}$ 를 곱한다. 위 식이면 $2x + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$ 이므로 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ 다.
• 매개변수로 나타낸 함수: $x = f(t),\ y = g(t)$ 일 때

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$$

• 역함수의 미분법: 서로의 도함수는 역수 관계다.

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \qquad \left(\frac{dy}{dx} \ne 0\right)$$

• 이계도함수 $f''(x)$ 는 도함수를 한 번 더 미분한 것이며, 다음 소단원에서 그래프의 오목·볼록을 판정하는 데 쓴다.

비교표

식의 모양	쓰는 규칙	예
$f \cdot g$	곱의 미분법	$(x^2 e^x)' = 2xe^x + x^2e^x$
$\dfrac{f}{g}$	몫의 미분법	$\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)' = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$
$f(g(x))$	연쇄법칙	$(\sqrt{x^2+1})' = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
$x, y$ 가 섞인 식	음함수 미분	$x^2+y^2=1 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$
$x=f(t),\ y=g(t)$	매개변수 미분	$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}$

시험 포인트

• 몫의 미분법은 빼는 순서가 생명이다. 분자는 $f'g - fg'$ 이며 순서를 바꾸면 부호가 통째로 뒤집힌다. “분자 먼저 미분”으로 외운다.
• 연쇄법칙에서 속미분을 빠뜨리지 않는다. $(\sin 3x)' = \cos 3x$ 는 틀렸고 $3\cos 3x$ 가 맞다. 괄호 안이 $x$ 가 아니면 반드시 무언가 곱해진다.
• 겹겹이 쌓인 함수는 바깥부터 하나씩 벗긴다. $e^{\sin 2x}$ 라면 $e^{\square}$ → $\sin\square$ → $2x$ 순으로 세 번 곱한다.
• 음함수 미분에서 $y$ 를 상수 취급하지 않는다. $y$ 는 $x$ 의 함수이므로 미분할 때마다 $\frac{dy}{dx}$ 가 따라 나온다.
• 매개변수 미분은 $t$ 로 각각 미분해 나눈다. $\frac{dy}{dt}$ 를 $\frac{dx}{dt}$ 로 나누는 것이지, $y$ 를 $x$ 로 억지로 정리할 필요가 없다.
• 곱의 미분법을 쓰기 전에 식을 먼저 정리해 본다. $x^2 \cdot x^3$ 은 $x^5$ 로 고치는 편이 훨씬 빠르다.

개요

수2에서도 도함수로 접선을 긋고 증가·감소를 판정했다. 미적분Ⅱ가 더하는 것은 한 번 더 미분해 얻는 정보다.

$f'(x)$ 의 부호는 그래프가 오르는지 내리는지를 알려 준다. 여기에 $f''(x)$ 의 부호를 더하면 어느 쪽으로 휘어 있는지까지 알 수 있다. 오르는 그래프에도 점점 가팔라지는 것과 점점 완만해지는 것이 있는데, 이 둘을 가르는 것이 이계도함수다. 두 정보를 합치면 함수의 그래프를 거의 정확하게 그려 낼 수 있고, 최댓값·최솟값 문제와 속도·가속도 문제가 모두 여기서 풀린다.

핵심 사실

• 증가와 감소: 어떤 구간에서 $f'(x) > 0$ 이면 증가, $f'(x) < 0$ 이면 감소한다.
• 극값: $f'(a) = 0$ 이고 그 앞뒤로 $f'$ 의 부호가 바뀌면 $x = a$ 에서 극값을 갖는다. 양에서 음으로 바뀌면 극대, 음에서 양으로 바뀌면 극소다.
• $f'(a) = 0$ 이어도 극값이 아닐 수 있다. $y = x^3$ 은 $x = 0$ 에서 $f' = 0$ 이지만 부호가 바뀌지 않아 극값이 없다.
• 오목과 볼록: $f''(x) > 0$ 이면 아래로 볼록(∪), $f''(x) < 0$ 이면 위로 볼록(∩)이다.
• 변곡점: $f''(x) = 0$ 이고 그 앞뒤로 $f''$ 의 부호가 바뀌는 점이며, 휘는 방향이 바뀌는 자리다.
• 이계도함수로 극값 판정: $f'(a) = 0$ 일 때 $f''(a) > 0$ 이면 극소, $f''(a) < 0$ 이면 극대다. $f''(a) = 0$ 이면 이 방법으로는 알 수 없어 부호 변화를 직접 본다.
• 최댓값·최솟값: 닫힌구간에서는 극값과 양 끝점의 함숫값을 모두 비교해 가장 큰 값과 작은 값을 고른다. 극값이 곧 최댓값인 것은 아니다.
• 속도와 가속도: 위치 $x(t)$ 를 시간으로 미분하면 속도, 한 번 더 미분하면 가속도다.

$$v(t) = \frac{dx}{dt},\qquad a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$$

• 속력은 $|v(t)|$ 이며, 물체가 방향을 바꾸는 순간은 $v(t) = 0$ 이면서 부호가 바뀌는 때다.
• 방정식의 실근 개수는 그래프의 개형으로 판단한다. $f(x) = k$ 의 실근 개수는 $y = f(x)$ 의 그래프와 수평선 $y = k$ 의 교점 개수이며, 극값과 $k$ 의 크기를 비교하면 답이 나온다.

비교표

	$f'(x)$	$f''(x)$
알려 주는 것	오르는가 내리는가	어느 쪽으로 휘는가
양수	증가	아래로 볼록 ∪
음수	감소	위로 볼록 ∩
$0$ 이고 부호 바뀜	극값	변곡점

문제 유형	하는 일
그래프 개형	$f'$·$f''$ 부호표를 만들어 증감·오목 표시
닫힌구간 최대·최소	극값 + 양 끝점 함숫값 비교
실근 개수	$y=f(x)$ 와 $y=k$ 의 교점으로 환산
속도·가속도	위치를 한 번·두 번 미분

시험 포인트

• $f'(a) = 0$ 은 극값의 필요조건일 뿐이다. 반드시 앞뒤 부호 변화를 확인한다. $y = x^3$ 이 대표 반례다.
• 닫힌구간 문제에서 끝점을 빠뜨리지 않는다. 최댓값이 극댓값이 아니라 구간의 끝에서 나오는 경우가 흔하다.
• 변곡점도 $f''=0$ 만으로는 부족하다. 부호가 실제로 바뀌어야 하며, $y = x^4$ 는 $x=0$ 에서 $f''=0$ 이지만 변곡점이 아니다.
• 속도와 속력을 구분한다. 속도는 부호가 있어 방향을 담고, 속력은 그 절댓값이다. “가장 빠른 순간”은 속력으로 판단한다.
• 부호표를 반드시 그린다. $f'$ 과 $f''$ 을 한 표에 놓고 구간별 부호를 채우면 그래프가 저절로 나온다. 암산으로 개형을 짐작하면 극값 하나를 놓치기 쉽다.
• 정의역을 먼저 확인한다. $\ln x$ 나 분수식이 섞여 있으면 그래프를 그리기 전에 정의되지 않는 구간을 지운다.

개요

미분은 규칙만 알면 기계적으로 할 수 있지만, 적분은 사정이 다르다. “미분해서 이 식이 되는 함수를 찾는” 역방향 작업이라 정해진 절차가 없고, 식의 모양을 보고 알맞은 방법을 고르는 안목이 필요하다.

수2에서 다항함수의 적분을 배웠다면, 여기서는 두 가지가 늘어난다. 하나는 적분할 수 있는 함수의 종류(지수·로그·삼각), 다른 하나는 방법이다. 방법은 둘뿐이다 — 연쇄법칙을 거꾸로 돌린 치환적분과 곱의 미분법을 거꾸로 돌린 부분적분. 미분 규칙 하나에 적분 방법 하나가 짝지어져 있는 셈이다.

핵심 사실

• 기본 부정적분: 미분 공식을 뒤집으면 그대로 나온다.

$$\int e^x dx = e^x + C,\qquad \int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C,\qquad \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$

• 삼각함수의 적분: 부호가 미분과 반대쪽에 붙는다.

$$\int \sin x\, dx = -\cos x + C,\qquad \int \cos x\, dx = \sin x + C,\qquad \int \sec^2 x\, dx = \tan x + C$$

• $\int \frac{1}{x}dx$ 에는 절댓값이 붙는다. $x < 0$ 에서도 성립하게 하려면 $\ln|x|$ 여야 한다.
• 치환적분: 식 안에 어떤 덩어리와 그 덩어리의 미분이 함께 들어 있으면 그 덩어리를 $t$ 로 놓는다.

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \qquad (t = g(x))$$

• 예를 들어 $\int 2x e^{x^2} dx$ 는 $t = x^2$ 으로 놓으면 $dt = 2x\,dx$ 이므로 $\int e^t dt = e^{x^2} + C$ 다.
• 로그 꼴 치환: 분자가 분모의 미분이면 곧바로 로그가 된다.

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C$$

• 부분적분: 성격이 다른 두 함수의 곱을 적분할 때 쓴다.

$$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$$

• 무엇을 $f$ 로 둘 것인가 — 미분하면 간단해지는 쪽을 $f$ 로 둔다. 로그·다항식이 대개 $f$, 지수·삼각이 $g'$ 이다. $\int x e^x dx$ 는 $f = x$, $g' = e^x$ 로 두면 $xe^x - e^x + C$ 가 나온다.
• 정적분의 치환은 적분 구간도 함께 바꾼다. $x$ 의 범위를 $t$ 의 범위로 옮기면 마지막에 원래 변수로 되돌릴 필요가 없다.

비교표

식의 모양	방법	예
덩어리와 그 미분이 함께	치환적분	$\int 2xe^{x^2}dx = e^{x^2}+C$
$\dfrac{f'}{f}$	로그 꼴	$\int \dfrac{2x}{x^2+1}dx = \ln(x^2+1)+C$
(다항)×(지수·삼각)	부분적분	$\int xe^x dx = (x-1)e^x + C$
$\ln x$ 가 홀로	부분적분 ($g'=1$)	$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$

시험 포인트

• 적분상수 $C$ 를 빠뜨리지 않는다. 부정적분의 답은 함수 하나가 아니라 함수의 무리다.
• $\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$ — 절댓값을 빼먹는 실수가 매우 흔하다.
• $\int \sin x\,dx = -\cos x$ 의 음의 부호를 조심한다. 미분과 반대로 붙는다는 점을 표로 정리해 두면 좋다.
• 치환할 때 $dx$ 까지 바꾼다. $t = g(x)$ 로 놓았으면 $dt = g'(x)dx$ 를 이용해 식 전체를 $t$ 로 통일해야 한다. $dx$ 를 그대로 두고 계산하면 안 된다.
• 정적분에서 치환하면 구간도 바꾼다. 구간을 그대로 두고 $t$ 로 계산하면 완전히 다른 값이 나온다.
• 부분적분의 $f$ 선택이 잘못되면 식이 더 복잡해진다. 한 번 해 보고 적분이 어려워지면 $f$ 와 $g'$ 을 바꿔 다시 시도한다.