공간벡터

개요

공간좌표에서 축을 하나 더 그어 점을 $(x, y, z)$ 로 적었다. 벡터도 똑같다. 화살표를 원점에서 출발시키면 끝점의 좌표가 곧 성분이 되므로, 평면벡터 $(a_1, a_2)$ 에 성분이 하나 더 붙어 $(a_1, a_2, a_3)$ 이 될 뿐이다.

새로 외울 것이 거의 없다는 뜻이기도 하다. 벡터의 성분과 내적에서 세운 식들(성분끼리의 덧셈, 피타고라스 정리로 구하는 크기, 성분곱의 합인 내적, 내적이 $0$ 이면 수직)이 항이 하나씩 늘어난 모습으로 그대로 성립한다. 공간도형 문제에서 “이 두 모서리가 이루는 각”을 그림으로 씨름하지 않고 수 하나로 답할 수 있게 되는 것이 이 소단원의 목적이다.

핵심 사실

• 두 점으로 나타낸 벡터: $\mathrm{A}(x_1,y_1,z_1)$, $\mathrm{B}(x_2,y_2,z_2)$ 일 때

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1,\ z_2 - z_1)$$

• 이것은 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 를 성분으로 쓴 것이다. 끝점에서 시작점을 뺀다.
• 성분의 연산: 덧셈·뺄셈·실수배는 성분끼리 한다. 평면에서와 규칙이 같고 자리가 하나 늘 뿐이다.

$$\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1,\ a_2 \pm b_2,\ a_3 \pm b_3),\qquad k\vec{a} = (ka_1,\ ka_2,\ ka_3)$$

• 크기: 좌표공간의 두 점 사이의 거리 공식이 그대로 벡터의 크기가 된다.

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$

• 평행 조건: $\vec{a} \parallel \vec{b}$ 이면 $\vec{b} = k\vec{a}$ 인 실수 $k$ 가 있다. 성분으로는 세 성분의 비가 모두 같다는 뜻이다.
• 내적: 성분끼리 곱해 더한다. 결과는 벡터가 아니라 수 하나다.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

• 내적의 또 하나의 얼굴: 두 벡터가 이루는 각을 $\theta\ (0° \le \theta \le 180°)$ 라 할 때 $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ 다. 평면에서 코사인법칙으로 세운 등식이 공간에서도 그대로 성립한다. 두 벡터는 언제나 한 평면 위에 놓이기 때문이다.
• 두 벡터가 이루는 각: 위 두 식을 연결하면 각이 나온다.

$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\,\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$$

• 수직 조건: 두 벡터가 영벡터가 아닐 때

$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$$

• 자기 자신과의 내적은 크기의 제곱이다. $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$ 이며, 크기를 다루는 계산은 전부 여기서 시작한다.
• 크기 계산의 요령: 크기를 그대로 다루지 말고 제곱해서 내적으로 바꾼다.

$$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\,\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$$

• 위치벡터와 내분점: 두 점 $\mathrm{A}(\vec{a})$, $\mathrm{B}(\vec{b})$ 에 대해 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $m:n$ 으로 내분하는 점의 위치벡터는 $\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$ 이고, 중점은 $\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ 다. 평면과 같은 식이며, 성분으로 풀면 공간좌표의 내분점 공식과 정확히 일치한다.
• 삼각형의 넓이나 각도도 두 변을 벡터로 잡아 내적을 구하면 나온다. 공간에 놓인 삼각형이라도 두 변 벡터만 성분으로 적으면 평면 문제와 계산이 같다.